1 试题呈现

（2021南京）如图1，已知P是⊙O外一点.用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线.要求：（1）用直尺和圆规作图;（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

2 试题探究

对于这样一道熟悉的问题，也是课堂教学的真实情境再现，学生通过初中三年的几何学习，将一些基本的几何模型通过本题较好的呈现，体现了试题的评价功能，将学生熟悉的素材以发散性的形式进行考查，体现了思维的多样性.本题的素材也是源于新版《义务教育课程标准》中的案例，为教学提供了新的导向.下面我们将从理解题意、拟定方案、执行方案、回顾反思对试题进行探究.

2.1 理解题意

分析题目的条件，⊙O是定圆，点P是⊙O外一定点，需要在⊙O上寻找一个定点Q，使得PQ是切线，即∠PQO=90°.

2.2 拟定方案

我们通过构造示意图，如图2，观察∠PQO=90°，对于这个直角模型你能联想到什么？如何构造相应的几何模型来实现∠PQO=90°？

联想1（定弦定角） 由于PO是定线段，∠PQO=90°，它们都是确定元素，因此点Q的轨迹是圆弧.定弦定角的数学模型学生非常熟悉，很容易联想到轨迹，因此以PO为直径构造圆，与⊙O的交点即为所求，从而确定切线.联想2（HL全等） 由于PO长度固定，半径OQ已知，∠PQO=90°，因此Rt△POQ是确定的，基于三角形确定的情形下，我们可以利用尺规作图构造出这个直角三角形，其实这就是判定两个直角三角形全等的条件“HL”.通过截取直角边，进一步得到切线长.上述两个作法对于学生是容易得到的，教学中，我们希望学生能够发散思维，在想到2个解法之后能再想一步，还可以怎么做？……