王莉杰 姜恩华

【摘   要】   该文借助压缩感知理论完成MIMO-OFDM系统的信道估计，分别采用压缩采样匹配追踪（CoSaMP）算法和广义正交匹配追踪（GOMP）算法重构信道参数，与最小二乘（LS）算法比较，通过归一化均方误差（NMSE）展现了压缩感知类算法能够有效地提高信道参数重构的精度。该文设计了一个MIMO-OFDM通信系统，测试了压缩感知算法对数据传输的误码率（BER）的影响，实验结果表明，基于压缩感知的算法能够有效降低系统的误码率（BER）。

【关键词】   GOMP;CoSaMP;压缩感知;信道估计;MIMO-OFDM系统

Application of Compressed Sensing Theory in the Channel Estimation of the MIMO-OFDM System

WANG Li-jie，JIANG En-hua*

（Huaibei Normal University ，Huaibei 235000 ，China）

【Abstract】  In the MIMO-OFDM system，the channel estimation provides channel information for the receiver. Because the time-domain sparsity of wireless channel， the compressed sensing theory is used to complete the channel estimation of the MIMO-OFDM system in this paper，the compressed sampling matching pursuit （CoSaMP） algorithm and the generalized orthogonal matching pursuit （GOMP） algorithm are used to reconstruct the channel parameter，and compared with the least squares （LS） algorithm， the normalized mean square error （NMSE） shows that compressed sensing algorithms can effectively improve the accuracy of reconstruting channel parameter. The MIMO-OFDM communication system is designed and the effect of compressed sensing algorithms is tested by the bit error rate （BER） of data transmission in this paper，the experiment results show that the algorithms based on the compressed sensing can effectively reduce bit error rate （BER） of the system.

【Keywords】  GOMP;CoSaMP;Compressed sensing theory;Channel estimation;MIMO-OFDM system

〔中图分类号〕  TN911             〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2021）01- 0000 - 00

0     引言

OFDM技术有效地降低了频率选择性衰落信道中多径效应带来的干扰，该技术可以与MIMO收发器组合构成MIMO-OFDM技术，MIMO收发器通过使用分集技术和空分复用技术有效地提高了通信链路的数据传输效率和信道总容量[1]。在无线通信中，由于复杂的环境和噪声使得无线信道具有时变性，所以在接收端精确的估计无线信道参数显得尤为重要。随着对无线移动通信的深入研究，越来越多的实验表明无线信道时域具有稀疏性[2]。由于压缩感知理论能够准确的重构出稀疏信号，因此本文采用压缩感知理论估计无线信道的参数 [3-5]。

本文以[2×2Alamouti]编码器模型为基础，把OFDM技术加入到该模型中搭建了一个[2×2]MIMO-OFDM通信系统。采用压缩感知重构算法CoSaMP算法和GOMP算法完成该通信系统的无线信道参数估计，与LS算法比较，结果表明压缩感知重构算法能够有效的提高重构的精度。

1     压缩感知理论概述

在MIMO-OFDM通信系统中，数据在传输过程中受噪声的影响，因此在信道估计中压缩感知模型选择的是有噪声的压缩感知模型。

1.1   有噪声的压缩感知模型

若長度为N的一维信号[x]中只有K（K<<N）个非零的元素，称[x]是[K]-稀疏的。用观测矩阵[Φ∈RM×N]将稀疏信号[x]映射为观测信号[y]，若在观测过程中出现噪声[z∈RM]，则观测信号[y]可以表示为：

[y=Φx+z]                  （1）

由于[K<M<N]，求解式（1）不能得出唯一解。可以把求解稀疏信号[x]采用[l0]-范数的优化求解，求解[l0]-范数问题属于非凸的最优化求解方法，可转化为[l1]-范数问题求解，要求观测矩阵[Φ]满足受限等距性。若存在[δK∈（0，1）]使式（2）成立：

[（1-δK）x22≤Φx22≤（1+δK）x22]       （2）

则称观测矩阵[Φ]满足[K]阶受限等距性[6]。式（2）中[δK]为RIP常数，[||x||22=i=1N|x|2]。

利用贪婪算法或凸优化算法重构稀疏信号如式（3）所示：

[minxx1    s.t.  y-Φx<ε]       （3）                             式（3）中ε表示与噪声信号相关的容限错误参数[7]。

1.2   压缩感知重构算法

在压缩感知重构算法中，贪婪迭代类算法收敛速度更快且计算复杂度更低[8]。本文采用压缩感知重构算法中的两种贪婪迭代算法—CoSaMP算法和GOMP算法完成MIMO-OFDM系统的信道估计。

2     MIMO-OFDM系统

MIMO-OFDM技術是用MIMO多天线技术配置实现OFDM多载波的一种数据传输方案，该技术兼容了MIMO技术和OFDM技术的优点。

2.1   MIMO-OFDM通信系统数据传输原理

设发送端和接收端分别使用[NT和NR]根天线利用空间域实现分集技术，MIMO-OFDM系统框图如图1所示。

在发送端首先将串行信号转变成并行信号，然后用子载波对其调制并进行快速傅里叶逆变换（IFFT），IFFT变换不仅实现了信号的频/时转换而且保证了相邻子载波之间的正交性[9]。并行信号通过[NT]个天线发送，通过含有噪声的多径信道到达接收端。在接收端，[NR]组并行信号通过快速傅里叶变换（FFT）实现时/频转换。

设H为信道频域冲激响应矩阵，其表达式如式（4）所示：

[H=H11H12…H1NTH21H22…H2NT⋮⋮⋱⋮HNR1HNR2…HNRNT] ;       （4）

式（4）中[HNRNT]表示第[NR]根接收天线和第[NT]根发送天线之间信道的频域冲激响应[10]。

在MIMO-OFDM通信系统中，输出信号[Y=[Y1，Y2，...，YNR]T]和输入信[X=[X1，X2，...，XNT]T]的线性关系如式（5）所示：

[Y1Y2⋮YNR=H11H12…H1NTH21H22…H2NT⋮⋮⋱⋮HNR1HNR2…HNRNTX1X2⋮XNT+Z1Z2⋮ZNR ] （5）

式（5）中[Z=[Z1，Z2，...ZNR]T]是[[z1，z2，...zNR]T]的频域表示。

2.2   2[×]2 Alamouti编码器模型

1998年Alamouti提出了一种新的编码技术，该技术在获得最大的分集增益的同时也简化了编码的复杂度[11]。设输入信号[x=[x1，x2]]，根据Alamouti编码规则输入信号应该按照[XA]所示的空-时码字矩阵编码，矩阵[XA]如式（6）所示：

[XA=x1-x*2x2x*1]             （6）

[2×2 Alamouti]编码器模型如图2所示，从图2可以看出矩阵[XA]的元素周期地从两个发送天线发射：天线1和天线2在两个周期内发送的信号分别为[x1=[x1，-x*2]]和[x2=[x2，x*1]]，其中信号[x1和]信号[x2]正交且功率相等[12]。

图2中[h11，h12，h21，h22]表示对应天线间的信道冲激响应，[z1，z3和z2，z4]分别表示两个周期对应时刻接收天线叠加的噪声，接收端信号[r1，r2，r3，r4]可用方程组（7）表示：

[r1=x1h11+x2h12+z1，r2=-x*2h11+x*1h12+z2，r3=x1h21+x2h22+z3，r4=-x*2h21+x*1h22+z4，]         （7）

2.3   2[×]2 MIMO-OFDM系统

以[2×2 ]Alamouti编码器模型为基础，把[OFDM]技术加入到该模型中形成一个[2×2 ]MIMO-OFDM系统，[2×2 ]MIMO-OFDM系统如图3所示。

对式（7）作FFT变换得到[2×2]MIMO-OFDM系统数据传输方程如式（8）所示：

[R1=Wr1=Wx1h11+Wx2h12+Wz1R2=Wr2=-Wx*2h11+Wx*1h12+Wz2R3=Wr3=Wx1h21+Wx2h22+Wz3R4=Wr4=-Wx*2h21+Wx*1h22+Wz4] （8）

式（8）中W为傅里叶变换矩阵。

2.4   基于压缩感知的信道估计

为了将MIMO-OFDM系统的信道估计和压缩感知理论求解稀疏信号[x]联系在一起，需要将式（8）中的方程改写成形如式（1）的表达式，首先[R1和R3]可以表示为：

[R1=diag（x1）W，diag（x2）Wh11h12+Wz1，R3=diag（x1）W，diag（x2）Wh21h22+Wz3，]    （9）

记[Φ=diag（x1）W，diag（x2）W]，[Z=[Wz1，Wz2]T]，式（9）变换成式（10）：

[R=Φh+Z]            （10）

对比式（10）和式（1），[2×2]MIMO-OFDM系统接收端信号R相当于压缩感知理论中的观测信号y，那么式（10）中重构信道参數[h]的过程相当于压缩感知理论中用优化算法求解信号[x]的过程，类比式（3），重构信道参数[h]的过程可以表达为：

[h=argminhh1   s.t. R-Φh< ε]         （11）

3     压缩感知算法实现信道估计流程

压缩感知算法中的贪婪迭代类算法都是采用逐步迭代的方法去逼近原始信号，CoSaMP算法和GOMP算法完成[2×2]MIMO-OFDM系统信道估计的过程也是反复迭代的过程[13]。

3.1   CoSaMP算法重构信道参数流程

3.2   GOMP算法重构信道参数流程

GOMP算法与CoSaMP算法重构信道参数的流程的不同之处如下：

（1）GOMP算法仅选择匹配度最高的前S项而不是2K项，S是自定义的选择原子。

（2）GOMP算法不用再次更新索引集过程，即没有上述CoSaMP算法流程中的步骤（5）。

4   仿真实验

4.1 ;  实验平台搭建

搭建的[2×2]MIMO-OFDM通信系统实验平台如图4所示，其中导频结构为块状导频。采用Matlab软件完成[2×2]MIMO-OFDM通信系统仿真。

4.2   仿真实验结果与分析

4.2.1   仿真实验结果

在仿真实验中，信道类型为瑞利信道，噪声类型为加性高斯白噪声。信源序列和块状导频长度分别设置为768和64，信道稀疏度K为48，选择原子S为3，停止迭代阈值e为10-6。利用LS算法、CoSaMP算法和GOMP算法完成[2×2]MIMO-OFDM系统信道估计，以[h11]为例将估计出的信道参数和原始信道参数做对比，比较结果如图5、图6和图7所示。

4.2.2   NMSE比较

本文用[NMSE]来衡量上述三种算法重构[2×2]MIMO-OFDM系统信道参数的精度，[NMSE]数值越小，重构精度越高。[NMSE]计算公式如式（12）所示：

[NMSE=Eh-h2Eh2]          （12）

式（12）中[h]是真实的信道参数，[h]是利用算法重构出的信道参数[14]。在不同信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）下， 三种算法的[NMSE]比较如图8所示。

从图8可以看出随着信噪比的不断增大，三种算法对应NMSE数值都不断减小且CoSaMP算法和GOMP算法在相同信噪比时NMSE数值大致相同。仿真实验结果表明：当信噪比相同时，基于压缩感知的两类算法的NMSE值都比传统的LS算法的NMSE值小，证明前者的数据重构精度更高。当NMSE数值相同时，基于压缩感知的两类算法可以获得相比LS算法[3～5dB]的信噪比增益。

4.2.4   BER比较

在接收端，通过压缩感知类算法重构的信道参数计算输入信号的估值，以误码率为标准量化系统的数据传输误差。不同信噪比下CoSaMP算法和GOMP算法的BER比较如图9所示。

从图9可以看出当信噪比在[0～7dB]之间变化时，CoSaMP算法和GOMP算法对应的BER数值基本相同;当信噪比在[7～12dB]之间变化时，CoSaMP算法比GOMP算法对应的BER数值小，证明CoSaMP算法的BER性能更好。CoSaMP算法和GOMP算法仅在信噪比为12dB时，系统的数据传输误差已经降低到1%以下，性能优良。

5     结论

本文首先阐述了压缩感知理论以及MIMO-OFDM系统的数据传输原理，其次基于[2×2 Alamouti]编码器模型搭建了[2×2]MIMO-OFDM系统。然后详细推导了压缩感知理论实现信道估计的过程，最后分别利用GOMP算法、CoSaMP算法和LS算法完成[2×2]MIMO-OFDM系统的信道估计。仿真实验结果表明：相比LS算法，基于压缩感知的算法有效地提高了数据重构精度和系统的误码率。

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