摘 要：增根是中学阶段解方程时的常见问题，本文结合高考题目与个人思考，重点阐述一下二次曲线联立为什么产生增根、两圆联立为什么不产生增根、如何对根进行取舍、增根的作用等问题.

关键词：增根;等价转换;根轴;提示性作用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0035-02

中学阶段，增根是学生普遍感觉比较棘手的问题.增根是指方程求解后得到的不满足题设条件的根.了解增根产生的原因，对根进行合理取舍，是中学生必备的数学素养.本文以高考题目为例谈一下增根问题.一、增根产生的原因

增根的产生源于题目条件转化为结论的过程中，使得条件成为结论的充分不必要条件.如果在题目的解答过程中将条件等价转换为结论，增根自然会被舍去.例1 （2020年全国Ⅱ卷理19）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.

（1）求C1的离心率;

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

分析 （2）由（1）知e=12，所以a=2c，b=3c.椭圆C1的方程为x24c2+y23c2=1，联立y2=4cxx24c2+y23c2=1，消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0，解得x=23c或x=-6c（舍去）.

为什么x=-6c是增根呢？分析发现，y2=4cx中隐含着x≥0.可将过程完善为“y2=4cxx24c2+y23c2=1x≥0，去y整理得3x2+16cx-12c2=0x≥0，解得x=23c或x=-6cx≥0，所以x=23c.

我们常常说，二元二次曲线方程联立在实数范围内容易产生增根，但两圆联立不产生增根，这是为什么呢？

二、探索两圆联立不产生增根的原因

例2 已知：圆C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r21，圆C2：（x-a2）2+（y-b2）2=r22，

兩圆相减得直线2（a2-a1）x+2（b2-b1）y+a21-a22+b21-b22-r21+r22=0，我们称此直线为根轴，试判断“两圆公共点个数”和“根轴与两圆公共点个数”之间的关系.

分析 两……