摘 要：方程lnx=bx-a两实根和的范围证明，是高考模拟卷中高频率出现的压轴题型，在近几年的高考中也曾出现.本文通过研究得出常见的六个相关结论，展示结论相应的推证过程，并介绍结论的应用.

关键词：方程两根;范围;函数导数;单调性

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0029-04

方程lnx=bx-a两实根和的范围问题，通常牵涉极值点偏移，是近几年高考模拟卷中的热点题型，在高考中也曾出现.本文通过研究得出常见的六个相关结论，并展示结论相应的推证方法及应用，旨在帮助同学们掌握这类压轴题型的解决方法.

一、结论及证明

结论一 当b=1时，若方程lnx=x-a有两不同实根x1，x2，则x1+x2>2.

证明 令f（x）=x-a-lnx，则f ′（x）=x-1x（x>0），由f ′（x）=0得：x=1.当x∈（0，1）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减;当x∈（1，+SymboleB@）时，f ′（x）>0，在区间（1，+∞）上单调递增.由已知得：f（1）<0，求出a>1，设x1<x2，则0<x1<1，x2>1.

方法一 设g（x）=f（x）-f（2-x），令u=2-x，运用复合函数求导法则得：g′（x）=-2（x-1）2x（2-x）<0对x∈（0，1）恒成立，g（x）在区间（0，1）上单调递减，因为g（1）=0，所以g（x1）>0，f（x1）>f（2-x1）.由f（x1）=f（x2）=0得：f（x2）>f（2-x1）.又因为x2>1，2-x1>1，f（x）在（1，+SymboleB@）上单调递增，所以x2>2-x1，x1+x2>2成立.

方法二 由lnx1=x1-a，lnx2=x2-a相减得：lnx2-lnx1=x2-x1.要证x1+x2>2，只需证明：x1+x2>2·x2-x1lnx2-lnx1.令t=x2x1，则只需证明：lnt>2（t-1）t+1对t>1恒成立.令h（t）=lnt-2（t-1）t+1，则h′（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2（t+1）2>0，所以函数h（t）在t∈（1，+SymboleB@）上单调递增.因为h（1）=0，所以h（t）>0，则x1+x2>2成立.

方法三 令t=x2x1，则t>1，由已知得：lnx1=x1-a，lnx2=x2-a，相减得：lnx2-lnx1=x2-x1，则 x1=lntt-1，x2=tlntt-1.要证明：x1+x2>2，只需证明：lnt>2（t-1）t+1对t>1恒成立.由方法二得结论成立.

评注 方法一是证明两实根和范围的常用方法，利用函数的的单调性，构造新函数，但只适用于两根和与极值点的两倍比较大小的问题;法二与法三构造的新函数相同，但思路有差别：法二消去参数a，得到x2-x1lnx2-lnx1=1，只需证明：x1+x2>2·x2-x1lnx2-lnx1，如果写出只需证明：x1+x2>2·lnx2-lnx1x2-x1呢？说明消去a后还可能走进死胡同;法三是化成只含一个未知数t的证明问……