武增明

摘 要：本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用，与同仁及同学们共飨.

关键词：点差法;圆锥曲线;解题研究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0053-03

一、点差法的基本原理

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时，设出弦端点坐标，并分别代入圆锥曲线方程得两式，将其两式相减，可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式，这种解题方法叫做点差法.

如，圆锥曲线mx2+ny2=1（m，n∈R，且m≠0，n≠0，）上两点P，Q，设P（x1，y1），Q（x2，y2），弦PQ的中点

M（x0，y0），弦PQ的斜率为k，则mx21+ny21=1，①mx22+ny22=1，②

由①-②，得m（x1+x2）（x1-x2）+n（y1+y2）（y1-y2）=0，又x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y1-y2x1-x2=k（x1≠x2），于是mx0+nky0=0，这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.

二、点差法的简单应用

与弦中点相关的问题有三种，一是平行弦的中点轨迹;二是过定点的弦的中点轨迹;三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.

1.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程

此类问题是点差法的最基本的简单应用.

例1 （2002年高考江苏卷·文理20）设A，B是双曲线x2-y22=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程;

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆，为什么？

解 （1）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，则有x1+x2=2，y1+y2=4，k=y1-y2x1-x2 .

由x21-y212=1x22-y222=1

两式相减并整理，得 y1-y2x1-x2=2·x1+x2y1+y2，

所以y1-y2x1-x2=1，从而k=1.

故直线AB的方程为y-2=1·（x-1），即x-y+1=0.

（2）解略.

评注 此问题用常规方法也易求解，但没有用点差法来得快.

2.用点差法简求轨迹方程

例2 （2001年春季高考上海卷·文理21）已知椭圆C的方程为x2+y22=1，点P（a，b）的坐标满足a2+b22≤1，过点P的直线l与椭圆交于A，B两点，点Q为线段AB的中点，求：

（1）点……