摘 要：本文根据一道高考题，充分利用发散思维，从不同的角度入手，从不同的思维方法入手，给出了多种解法，以帮助同学们复习巩固所学知识，充分利用所学知识解决问题.从而培养同学们观察问题，分析问题，解决问题的能力.

关键词：高考题;多角度思维

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0046-03

例 （2013浙江卷）

已知α∈R，sinα+2cosα=102则tan2α=（）.

A.43B.34C.-34D.-43

这是一道起点低，入口宽，既注重考查基础知识，又侧重于考查思维能力的好题.该题从不同的角度入手，有着多种不同的解法，且各种解法难易，繁简程度差别很大，充分体现了各种不同的思维层次，有着较高的选拔功能.

思路1 求三角函数值，关键是求出sinα，cosα的值，因此，利用同角三角函数关系式与已知条件结合，有如下解法：

解法1 由sinα+2cosα=102及sin2α+cos2α=1，解得：sinα=31010cosα=1010或sinα=-1010cosα=31010.所以tanα=3或tanα=-13.

所以，tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故选C.

点评 这种解法思路清晰，自然，但计算量较大.

思路2 求tan2α的值，若能求得tanα的值，再利用二倍角公式，就能轻松获解.由此有下面的解法.

解法2 把已知条件sinα+2cosα=102两边平方得：sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，即：sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α=52，亦即：tan2α+4tanα+4tan2α+1=52，即：tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或tanα=-13.

所以，tan2α=2tanα1-tan2α=-34.故选C.

点评 这种解法把已知条件进行平方，得到了我们熟悉的“齐次式”结构，直接求得了tanα，使得解题过程得以简化，这是一种整体意识，思维上比解法1进了一步.

思路3 已知条件中的角是α，而要求解的问题中的角是2α.因此，求tan2α的值，把已知条件中的角向2α转化.

解法3 把已知条件sinα+2cosα=102两边平方得：sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，即：sin2α+2sin2α+4cos2α=52，利用二倍角的降幂公式，有：1-cos2α2+2sin2α+2（1+cos2α）=52，即：4sin2α+3cos2α=0，所以tan2α=-34.故选C.

点评 这种解法从角的不同入手，首先想到变换角度，把角统一起来，使得计算过……