摘 要：三角函数的最值问题入口多，能考查不同水平学生的能力，采用何种策略解答，关键在于对问题的认识.2020年全国高考数学Ⅱ卷理科21题第二问是一个典型例子.可以从不同角度，拓展思路，分析解答，变式探究，再现命题的能力立意，以期提高认识.

关键词：高考题;解法;研究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0026-03

2020年全国高考理科数学Ⅱ卷的第21题是一个三角函数题，考查了函数单调性、最值以及不等式证明.该题打破了若干年来超越函数ex、lnx与带参一、二次函数的综合题霸占压轴题位置的惯例，给我们一线教师带来很多思考，尤其是第二问，值得研究.

一、试题呈现

（2020年全国高考理科数学Ⅱ卷第21题）已知函数f（x）=sin2xsin2x.

（1）略;

（2）求证：f（x）≤383;

（3）略.

二、解法探究

视角1 從极值的角度切入，用极值导出最值

证法1 对原函数求导得f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x，

化简整理得

f ′（x）=2sin2x（4cos2x-1）.

令f ′（x）=0得sinx=0或cosx=±12.

进而得sinx=0cosx=±1或cosx=±12sinx=±32.

由于f（x）=sin2xsin2x=2sin3xcosx，

于是f（x）=2sinx3cosx.

所以f（x）极值=0，

或f（x）极值=|2×（±32）3×（±12）|=338.

三角函数的图像具有连续性、有界性，结合极值与最值得关系可得f（x）≤383.

评析 导数是解决函数问题的有力武器，本函数易于求导，也易于找到极值点，借助三角函数图像的连续特征，可以用极值代表最值，不仅可以解得最大值，也可以求得最小值.充分展示了导数的工具性.

视角2 从周期性入手，以局部研究整体

证法2 由于f（x+π）=sin2（x+π）sin2（x+π）=f（x），

所以π是函数f（x）的一个周期.

于是，要证f（x）≤383，只需证x∈0，π时，f（x）≤383即可.

f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinx（sin2xcosx+cos2xsinx）

=2sinxsin3x

当x∈0，π时，

令f ′（x）=0得x=0，或x=π3，或x=2π3，或x=π.

于是

f（x）≤maxf（0），

f（π3），f（2π3），

f（π）

=383

所以f（x）≤383.

评析 周期性是三角函数最典型的性质之一，借助周期性可以将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化.本……