梁修曦

摘 要：本文以 “椭圆中的定点问题”复习课为例，探讨了 “证定点”和“找定点”两类问题的通性通法和巧解.并层层递进，对比渐变，推广出了一般性结论.

关键词：定点问题;通性通法;复习课

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0011-02

一、课堂再现

问题1 如图1，已知椭圆C的方程为x24+y2=1，过点A（0，1）作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交椭圆于M、N 两点，试证明：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.图1

生1：可设直线l1的方程为y=k1x+1，则直线l2的方程为y=-1k1x+1，联立椭圆C与直线l1和l2的方程，可求得M、N两点的坐标，进而写出直线MN的方程，并求出恒过的定点坐标.

生2：也可直接设MN的方程为y=kx+m，利用kAM·kAN=-1求得m与k的关系式，从而得到定点的坐标.

师：这两种思路都很好，请你们写出求解过程.

生1：联立直线l1与椭圆的方程，可求得M点坐标（-8k14k21+1，1-4k214k21+1），只需将其中的k1换成-1k1，即得N点坐标（8k14+k21，k21-44+k21），故直线MN的方程为y-k21-44+k21=k21-15k1（x-8k14+k21），化简为y=k21-15k1x-35，它恒过定点（0，-35）.

生2：联立直线MN的方程y=kx+m与椭圆C方程，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，记M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1（*）

由kAM·kAN=-1可得y1-1x1·y2-1x2=-1，即（k2+1）x1x2+k（m-1）（x1+x2）+（m-1）2=0，将（*）式代入可得m=-35，直线MN的方程y=kx-35，恒过定点（0，-35）.

师：这两种方法均为证明直线恒过定点问题的通性通法. 比较来看，那种方法稍好一些呢？

生3：方法1思路简洁，依照题意直接计算即可.

生4：方法2目標明确，求哪条直线过定点，就设哪条直线方程为y=kx+m，再寻找m与k的关系式，计算都很常规.

生5：两种方法都差不多.

师：既然大家难以取舍，接下来我们看变式1，再次体验一下.

变式1 在问题1中，将A点坐标改为（2，0），其他条件和求证不变.

生6：我采用的是方法2，由kAM·kAN=-1可得y1x1-2·y2x2-2=-1，即（k2+1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2+4=0，将（*）式代入，可得5m2+16km+12k2=0，故m=-2k（舍）或m=-65k，直线MN的方程y=k（x-65），恒过……