姜勇钢

摘 要：习题教学在高中数学的常态教学过程中，是一种策略，更是一种智慧，教师要将“教”的智慧转变为学生“学”的智慧，就是教师教育艺术的关键所在.在常态化的教学过程中，我们教师首先要深入挖掘题目的本质和内涵，结合学生已有的知识与技能，帮助学生一层层揭秘，并借此举一反三，由一题推一类，以此达成方法与技能上的提升.

关键词：三次函数;极值;方法;策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0013-02

笔者借助本文，通过一道三次函数为原型题目的分析、解答、求解、归类等，将一题的多种方法一一呈现，并通过题目的分析引领学生去深入分析、感悟题目，学会在对比中感悟，在感悟中应用，在应用中提升，在长期的教学引领下，实现减负高效的数学学习环境.

一、例题呈现

已知f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1<x2，且存在x0满足x1+2x0=3x2，令函数g（x）=f（x）-f（x0），试判断g（x）的零点个数并证明.

方法一 （直接代数运算）求导得

f ′（x）=3x2+2ax+b，

所以x1，x2是方程

3x2+2ax+b=0

的两个根，根据韦达定理得

a=-32（x1+x2），b=3x1x2，

又由题意得

x0=32x2-12x1，

所以g（x）=f（x）-f（x0）

=（x-x0）x2+x0x+x20+a（x+x0）+b

=（x-x0）[x2+（32x2-12x1）x+（32x2-12x1）2

-32（x1+x2）（x+32x2-12x1）+3x1x2]

=（x-x0）[x2-2x1x+（94x22-32x2x1+14x21）

-32（-12x21+32x22+x1x2）+3x1x2]

=（x-x0）（x2-2x1x+x21）

=（x-x0）（x-x1）2

显然它有两个零点，分别为x1和x0.

方法二 （平移代换）将f（x）的解析式作如下变形：

f（x）=x3+ax2+b=（x+a3）3+（a23+b）（x+a3）-4a327-ab3，

记t=x+a3，φ（t）=t3+At，其中A=a23+b，B=-4a327-ab3，则f（x）=φ（t）+B，

所以t1=x1+a3，t2=x2+a3是φ（t）的极值点.①

由题意得x1+a3+2（x0+a3）=3（x2+a3），即对应的t0，t1，t2也满足t1+2t0=3t2.②

而g（x）=f（x）-f（x0）=φ（t）+B-φ（t0）+B=φ（t）-φ（t0）.③

所以原题等价于下列命题：

已知φ（t）=t3+At，若函数φ（t）有两个极值点t1，t2，t1<t2，且存在t0满足t1+2t0=3t2，令函数h（t）=φ（t）-φ（t0），试判断h（t）的零点个数并证明.

易知t1+t2=0，A=3t1t2=-3t21，

t0=32t2-12t1=-2t1，

所以h（t）=φ（t）-φ（t0）=（t-t0）（t2+t0t+t20+A）=（t-t0）（t2-2t1t+4t21-3t21）=（t-t0）（t-t1）2

显然有两个零点t0，t1.

二、方法总结

方法总结，并引领学生进行全面的解读和反思，这是全面提升这道题目的价值所在，也是提升学生解题能力的关键所在，在这……