胡贵平

摘 要：圆锥曲线中的定点问题是高考常见考点，本文主要研究了过椭圆上一点作张角为直角所对的弦过定点问题，由于两条直线垂直，所以常用两条直线的斜率乘积等于-1来进行量化，文章主要从高考题入手对这一问题进行了研究，得出了圆锥曲线定点的一组性质.

关键词：圆锥曲线;定点问题;性质

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0057-04

解析几何中证明直线过定点，一般是选择参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换，通过推理、计算，找出参数之间的关系，并消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到直线所过的定点.当定点具备一定的限制条件时，可先探索出定点，再证明该定点与变量无关.

一、试题呈现

（2020年新高考数学全国1山东卷第22题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程;

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得DQ为定值.

本题综合考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素，考查了椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题.

二、试题解析

解法一 （1）由题意，可得ca=32，4a2+1b2=1，a2=b2+c2.解得a2=6，b2=c2=3，故椭圆方程为x26+y23=1.

（2）设点Mx1，y1，Nx2，y2.因为AM⊥AN，所以

AM·AN=0，即x1-2x2-2+y1-1y2-1=0①

当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m，如图1.

代入椭圆方程消去y并整理，得

1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0，

x1+x2=-4km1+2k2，

x1x2=2m2-61+2k2②

根据y1=kx1+m，y2=kx2+m，

代入①整理，可得

k2+1x1x2+km-k-2x1+x2+m-12+4=0

将②代入，

k2+12m2-61+2k2+km-k-2-4km1+2k2+m-12+4=0，

整理化简得2k+3m+12k+m-1=0，

因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k+m-1≠0，

所以2k+3m+1=0，k≠1，于是MN的方程为y=kx-23-13，

所以直线过定点直线过定点E23，-13.

当直线MN的斜率不存在时，可得Nx1，-y1，如图2.

代入x1-2x2-2+y1-1y2-1=0，得x1-22+1-y22=0.

结合x216+y213=1，解得x1=2（舍），x1=23，此时直线MN过点E23，-13.

由于AE为定值，且△ADE为直角三角……