胡贵平

摘 要：圆锥曲线中的定点问题是高考常见考点，本文主要研究了过椭圆上一点作张角为直角所对的弦过定点问题，由于两条直线垂直，所以常用两条直线的斜率乘积等于-1来进行量化，文章主要从高考题入手对这一问题进行了研究，得出了圆锥曲线定点的一组性质.

关键词：圆锥曲线;定点问题;性质

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0057-04

解析几何中证明直线过定点，一般是选择参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换，通过推理、计算，找出参数之间的关系，并消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到直线所过的定点.当定点具备一定的限制条件时，可先探索出定点，再证明该定点与变量无关.

一、试题呈现

（2020年新高考数学全国1山东卷第22题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程;

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得DQ为定值.

本题综合考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素，考查了椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题.

二、试题解析

解法一 （1）由题意，可得ca=32，4a2+1b2=1，a2=b2+c2.解得a2=6，b2=c2=3，故椭圆方程为x26+y23=1.

（2）设点Mx1，y1，Nx2，y2.因为AM⊥AN，所以

AM·AN=0，即x1-2x2-2+y1-1y2-1=0①

当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m，如图1.

代入椭圆方程消去y并整理，得

1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0，

x1+x2=-4km1+2k2，

x1x2=2m2-61+2k2②

根据y1=kx1+m，y2=kx2+m，

代入①整理，可得

k2+1x1x2+km-k-2x1+x2+m-12+4=0

将②代入，

k2+12m2-61+2k2+km-k-2-4km1+2k2+m-12+4=0，

整理化简得2k+3m+12k+m-1=0，

因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k+m-1≠0，

所以2k+3m+1=0，k≠1，于是MN的方程为y=kx-23-13，

所以直线过定点直线过定点E23，-13.

当直线MN的斜率不存在时，可得Nx1，-y1，如图2.

代入x1-2x2-2+y1-1y2-1=0，得x1-22+1-y22=0.

结合x216+y213=1，解得x1=2（舍），x1=23，此时直线MN过点E23，-13.

由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，

所以AE中点Q满足DQ为定值（AE长度的一半122-232+1+132=423）.

由于A2，1，E23，-13，故由中点坐标公式可得Q43，13.

故存在点Q43，13，使得DQ为定值.

反思 韦达定理来处理，计算量大，容易出错. 其实计算还可以用点乘双根法优化，由AM⊥AN，得x1-2x2-2+y1-1y2-1=0.即x1-2x2-2+kx1+m-1kx2+m-1=0，亦即x1-2x2-2+k2x1-1-mkx2-1-mk=0.通过联立直线MN方程与椭圆方程得1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0，因为点x1，x2是方程1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0的两个根，所以1+2k2x2+4kmx+2m2-6=1+2k2（x1-x）（x2-x）.

令x=2，得1+2k24+8km+2m2-6=1+2k2（x1-2）（x2-2）.令x=1-mk，得1+2k2（1-m）2k2+4m（1-m）+2m2-6=1+2k2（x1-1-mk）（x2-1-mk）.所以x1-2x2-2+y1-1y2-1=4+8km+2m2-61+2k2+k2（1-m）2k2+4m（1-m）+2m2-61+2k2=0.即3m2+8k-2m+4k2-1=0，因式分解的2k+3m+12k+m-1=0.

解法二 （2）把橢圆平移到以A为坐标原点，此时椭圆方程为（x+2）26+（y+1）23=1.

设点Mx1，y1，Nx2，y2.因为AM⊥AN，所以AM·AN=0，即x1x2+y1y2=0①

当直线MN的斜率存在时，不妨设方程为y=nx+m，代入椭圆方程消去y有（x+2）26+（nx+m+1）23=1，整理，得1+2n2x2+4（1+mn+n）x+2（m2+2m）=0，所以x1+x2=-4（1+mn+n）2n2+1，x1x2=2m2+4m2n2+1.

y1y2=（nx1+m）（nx2+m）=n2x1x2+mn（x1+x2）+m2=n2·2m2+4m2n2+1-mn·4（1+mn+n）2n2+1+m2=m2-4mn2n2+1.代入①得x1x2+y1y2=2m2+4m2n2+1+m2-4mn2n2+1=0，即m=4n-43.

直线MN的方程为y=nx+4n-43，即y+43=n（x+43），故直线MN恒过定点-43，-43.利用坐标平移到原坐标系里，直线MN恒过定点23，-13.以下同解法一.

反思 通过图象的平移变换，使得A2，1与原点重合，斜率的表达式变得简洁，减少了部分运算量，其实计算还可以用齐次化法优化，以A为坐标原点，此时椭圆方程为（x+2）26+（y+1）23=1.展开就是x26+y23+2x3+2y3=0，直线MN方程为y=nx+m，变形就是nx+my=1，代入椭圆方程齐次化处理，得x26+y23+（2x3+2y3）y-nxm=0，两边同除以x2，得（13+23m）（yx）2+（23m-2n3m）（yx）+16-2n3m=0.所以y1x1·y2x2=16-2n3m13+23m=-1，即m=4n-43.

三、引申探究

对于椭圆上一点作张角为直角所对的弦是否都过定点呢？

性质1过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点Px0，y0作两条互相垂直的弦PM，PN，则直线MN恒过定点a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0.

证明 设点Mx1，y1，Nx2，y2.因为PM⊥PN，所以PM·PN=0，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0.①

當直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m，

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1.消去y并整理，得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根据y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①整理，

可得k2+1x1x2+km-x0-ky0x1+x2+x20+y20-2my0+m2=0.

将②代入，k2+1a2m2-a2b2a2k2+b2-km-x0-ky02a2mka2k2+b2+x02+y20-2my0+m2=0，

结合b2x20+a2y20=a2b2化简整理，

得a2+b2m2-2a2kx0-b2y0m+（a2-b2）（k2x20-y20）=0，解这个关于m的方程，得m=-（a2-b2）（kx0+y0）a2+b2或m=y0-kx0.

当m=y0-kx0时，y=kx+y0-kx0过点Px0，y0，不符合题意，所以直线MN的方程为y=kx-（a2-b2）（kx0+y0）a2+b2，即y+（a2-b2）y0a2+b2=k（x-（a2-b2）x0a2+b2），故直线MN恒过定点a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0.

当直线MN的斜率不存在时，可得Nx1，-y1，

代入x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，得x1-x02-y21+y20=0.

结合x21a2+y21b2=1，x20a2+y20b2=1消去y1，得（a2+b2）x21-2a2x0x1+（a2-b2）x20=0.

解得x1=x0舍，x1=a2-b2a2+b2x0，此时直线MN恒过定点a2-b2a2+b2x0，-a2-b2a2+b2y0.

性质2 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0，a≠b）上一点Px0，y0作两条互相垂直的弦PM，PN，则直线MN恒过定点a2+b2a2-b2x0，a2+b2a2-b2y0.

性质3 过抛物线y2=2px（p>0）上一点Px0，y0作两条互相垂直的弦PM，PN，则直线MN恒过定点2p+x0，-y0.

过圆锥曲线上一点Px0，y0作90°的张角所对的弦必过定点.

对于椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），动弦过定点e22-e2x0，-e22-e2y0;

对于双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0，a≠b），动弦过定点e22-e2x0，e22-e2y0;

对于抛物线y2=2px（p>0），动弦过定点2p+x0，-y0.

过圆锥曲线上一点Px0，y0作两条直线互相垂直加强到两条直线斜率之积是定值，是否仍然有张角所对的弦必过定点？

性质4 过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点Px0，y0作两条弦PM，PN，且满足直线PM，PN的斜率之积是定值d（d≠b2a2），则直线MN恒过定点a2d+b2a2d-b2x0，-a2d+b2a2d-b2y0.

证明 设点Mx1，y1，Nx2，y2.因为kPM·kPN=d，所以y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=d.

即dx1-x0x2-x0-y1-y0y2-y0=0，①

当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m，

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1.消去y并整理，得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根据y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①整理，

可得d-k2x1x2-km+dx0-ky0x1+x2+dx20-y20+2my0-m2=0.

将②代入，d-k2a2m2-a2b2a2k2+b2+km+dx0-ky02a2mka2k2+b2+dx20-y20+2my0-m2=0，

结合b2x20+a2y20=a2b2化简整理，

a2d-b2m2+2a2dkx0+b2y0m+（a2d+b2）（k2x20-y20）=0.解这个关于m的方程，得m=-（a2d+b2）（kx0+y0）a2d-b2或m=y0-kx0.

当m=y0-kx0时，y=kx+y0-kx0过点Px0，y0，不符合题意，所以直线MN的方程为y=kx-（a2d+b2）（kx0+y0）a2d-b2，即y+（a2d+b2）y0a2d-b2=k（x-（a2d+b2）x0a2d-b2），故直线MN恒过定点a2d+b2a2d-b2x0，-a2d+b2a2d-b2y0.

当直线MN的斜率不存在时，可得Nx1，-y1，

代入dx1-x0x2-x0-y1-y0y2-y0=0，得dx1-x02+y21-y20=0.

结合x21a2+y21b2=1，x20a2+y20b2=1消去y1，得（a2d-b2）x21-2a2dx0x1+（a2d+b2）x20=0.

解得x1=x0舍，x1=a2d+b2a2d-b2x0，此时直线MN恒过定点a2d+b2a2d-b2x0，-a2d+b2a2d-b2y0.

性质5 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一点Px0，y0作两条弦PM，PN，且满足直线PM，PN的斜率之積是定值d，则直线MN恒过定点a2d-b2a2d+b2x0，-a2d-b2a2d+b2y0.

性质6 过抛物线y2=2px（p>0）上一点Px0，y0作两条弦PM，PN，且满足直线PM，PN的斜率之积是定值d，则直线MN恒过定点-2pd+x0，-y0.

过圆锥曲线上一点Px0，y0作两条直线斜率之积是定值，拓展到两条直线斜率之和是定值，是否仍然有张角所对的弦必过定点？

性质7 过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点Px0，y0作两条弦PM，PN，且满足直线PM，PN的斜率之和是定值λ（λ≠0），则直线MN恒过定点-2y0λ+x0，-2b2x0a2λ-y0.

证明 设点Mx1，y1，Nx2，y2.因为kPM+kPN=λ，所以y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=λ.即y1-y0x2-x0+y2-y0x1-x0-λx1-x0x2-x0=0①

当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m，

由y=kx+m，x2a2+y2b2=1.消去y并整理，得a2k2+b2x2+2a2mkx+a2m2-a2b2=0

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，x1x2=a2m2-a2b2a2k2+b2②

根据y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入①整理，

可得2k-λx1x2+m-y0-λx0-kx0x1+x2-λx20+2x0y0-2mx0=0.

将②代入，2k-λa2m2-a2b2a2k2+b2-m-y0-λx0-kx02a2mka2k2+b2-λx20+2x0y0-2mx0=0.

结合b2x20+a2y20=a2b2化简整理，

a2λm2+2ka2λ+b2x0-2ka2y0m-（b2+a2k2）（2x0y0-λx20）+（b2x20+a2y20）（2k-λ）=0因式分解，a2λm+ka2λ+2b2x0-（2k-λ）a2y0（m+kx0-y0）=0.

解这个关于m的方程，得m=-（ka2λ+2b2）x0+（2k-λ）a2y0a2λ或m=y0-kx0.

当m=y0-kx0时，y=kx+y0-kx0过点Px0，y0，不符合题意，所以直线MN的方程为y=kx-（ka2λ+2b2）x0-（2k-λ）a2y0a2λ，即y+2b2x0a2λ+y0=k（x+2y0λ-x0），直线MN恒过定点-2y0λ+x0，-2b2x0a2λ-y0.

当直线MN的斜率不存在时，可得Nx1，-y1，

所以kPM+kPN=y1-y0x1-x0+-y1-y0x1-x0=-2y0x1-x0=λ.x1=-2y0λ+x0.

此时直线MN恒过定点-2y0λ+x0，-2b2x0a2λ-y0.

性质8 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一点Px0，y0作两条弦PM，PN，且满足直线PM，PN的斜率之和是定值λ（λ≠0），则直线MN恒过定点-2y0λ+x0，2b2x0a2λ-y0.

性质9 过抛物线y2=2px（p>0）上一点Px0，y0作两条弦PM，PN，且满足直线PM，PN的斜率之和是定值λ（λ≠0），则直线MN恒过定点-2y0λ+x0，2pλ-y0.

圆锥曲线上一定点P与另外两点M，N的斜率之和或斜率之积为定值时，在斜率存在时，可设MN的方程y=kx+m与圆锥曲线方程联立，根据斜率之和或斜率之积建立起参数k，m之间的关系（若是关于k，m之间是一元二次方程，要特别注意因式分解），就可以得出直线过的定点，再在直线斜率不存在时单独验证.

参考文献：

[1]刘增利.高考五年真题[M].北京：开明出版社，2020（7）.

[2]李金宽.圆锥曲线的定点弦性质[J].数学通报，2020（12）：32-33.

[责任编辑：李 璟]