陈 阳，左可正，付芝美

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

1 引言与预备引理

文中涉及的两种广义逆参见文献[1,2]。用A+∈n×m表示矩阵A∈n×n的Moore-Penrose逆，它满足以下4个等式：

1)AA+A=A2)A+AA+=A+3)AA+=(AA+)*4)A+A=(A+A)*

用A#∈n×n表示矩阵A∈n×n的群逆，它满足以下3个等式：

1)AA#A=A2)A#AA#=A#3)AA#=A#A

下面介绍文中需要的引理：

引理1[3](Jordan定理)设A∈n×n，则存在n阶非奇异矩阵P，使得

A=PJP-1

(1)

是A的若当标准形，

证明 若当块

其中

Nt=0，于是计算得

引理3[4](核-幂零分解)设A∈m×n，则A可以分解为两个矩阵和的形式：

A=A1+A2(其中Ind(A1)≤1，A2是幂零矩阵，A1A2=A2A1=0)，

且表示法唯一。

A的核-幂零分解也可以表示为

(2)

其中P和C是可逆矩阵，N是幂零矩阵。容易证明N=0当且仅当Ind(A)≤1.

引理4[5](Hartwig-Spindelböck分解)设A∈n×n且r(A)=r，则存在酉矩阵U∈n×n，使得

(3)

其中∑=diag(σ1,σ2，…，σr),σ1≥σ2≥…≥σr>0是A的奇异值，K∈r×r，L∈r×(n-r)且满足KK*+LL*=Ir.

由(3)式可以计算出文献[6]：

(4)

A#存在当且仅当r(A)=r(A2)，且此时有文献[7]：

(5)

利用矩阵的Hartwig-Spindelböck分解，文献[6]给出了一些特殊矩阵的刻画条件，即下面的引理5.

引理5[6]设A∈n×n且r(A)=r，A有分解式(3)，则：

引理6[8]设A是Hermitian半正定矩阵，其中k∈{2,3,…}，则存在唯一的Hermitian半正定矩阵B，使得Bk=A.

关于可对角化矩阵、(正交)幂等矩阵、EP-阵和正规矩阵，许多国内外学者对它们进行了研究[7～11]。本文将首先利用Ak的性质给出可对角化矩阵和(正交)幂等矩阵的新刻画，其次用A*，A+和A#以及它们幂的特征给出EP-阵和正规矩阵的等价刻画。

2 用方阵幂刻画特殊矩阵类

下面将利用Ak的性质给出可对角化矩阵、幂等矩阵和正交幂等矩阵的一些新刻画。

定理1 设A∈n×n，A可逆，则A可对角化的充分必要条件是存在k∈+，使Ak可对角化。

证明 必要性是显然的。充分性：根据引理1知，A可以表成(1)的形式。由A可逆知，Ji中的对角元λi≠0，(i=1,2,…,t)有

定理2 设A∈n×n，则A可对角化的充分必要条件是存在k∈+，使得Ak可对角化且