[摘 要]公理化方法是根据尽可能少的概念和彼此独立的命题，通过严格的逻辑推理得到其他命题及结论，最终实现整个理论系统的构建.公理化方法最具代表性的著作是欧几里得的《几何原本》，从实质性公理化、形式公理化方法到现代形式公理化方法理论体系的建立和完善，许多数学家终生致力于探讨新系统构建的一般性和统一性，而向量空间理论体系的建立与发展正是公理化研究的典型缩影.其中，在现代向量理论体系的建立中，四元数的研究是重要推动因素.皮亚诺、外尔、达布、舒马克、维纳等人在向量公理化的道路上提供了完善的理论支撑，做出了关键性的贡献.

[关键词]向量空间;公理化;线性系统;赋范向量空

[中图分类号] O1-0;O183.1[文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）08-0072-04

公理化是指根据尽可能精简的概念和尽可能独立的命题，采用逻辑推导得到其他相关命题，最终建立起整个系统的过程.在向量理论被提出和发展的过程中，许多数学家不断深化向量理论在数学和物理学领域的应用，并在向量理论的基础上研究、建立向量空间理论，探索向量空间理论的公理化.

古埃及和古巴比伦是文明的发源地，在数学的发展进程中起到了重要作用.古希腊哲学家、科学家泰勒斯（Θαλ??，Thalês，公元前624年-公元前547年），他收集、整理了关于几何与计算的丰富资料后，将实际生产、生活中的数学经验进行总结，上升为理论，这是数学史上的飞跃.泰勒斯对数学发展的杰出贡献是开创性地提出了命题证明的思想.只有论证、推理，才能确保命题的正确性，才能使数学具有理论上的严密性和应用上的普适性.泰勒斯的积极倡导，为毕达哥拉斯创立理性的数学奠定了基础.

在探索演绎证明的道路上，毕达哥拉斯学派的希波克拉茨（Hippocrates，约公元前 470年-430年）做出了重要工作，他所撰写的《几何纲要》开创了希腊公理化论著的先河.希波克拉茨由一个命题出发，通过逻辑推导，得出另一个命题.在证明过程中强调了逻辑性、严谨性与规范性.柏拉图的学生、著名数学家欧多克斯（Eudoxus，約公元前408年-前355年）处理不可公度比时，明确建立了以公理为依据的演绎法.

在前人研究的基础上，先哲亚里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）透过现象看本质，将研究对象进行抽象化，不再局限于几何，而是将真正的重点放在逻辑推导上.亚里士多德提出逻辑学理论，撰写了《分析篇》，在历史上第一次对公理化方法进行了系统论述.

欧几里得（Euclid，约公元前330年-前275）更是集大成者，在亚里斯多德、希波克拉茨、欧多克斯等人的研究基础上，以公理化方法为工具，撰写了史学巨著《几何原本》.以5条公理、5条公设为前提，提出关于点、线、面23个定义，在此基础上推导出460余条结论，形成严密的逻辑演绎体系.《几何原本》的诞生，标志着实质性公理化方法的创立， 是数学发展的不朽丰碑.

公理化方法自亚里士多德的《几何原本》兴起，在欧洲文艺复兴时期迅速发展.十八、十九世纪，学术界对第五公设进行了广泛的探讨，做出重要工作的有意大利数学家萨开利（G.Saccheri，1667-1733）、俄国数学家罗巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）等人.其中，罗巴切夫期基的重大学术成果《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》举世闻名.在实质性公理化发展的进程中，非欧几何、黎曼几何、微分几何粉墨登场、大放异彩.非欧几何的建立标志着实质公理学向形式公理学过渡，表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间.

希尔伯特（Hilbert David，1862-1943）在此基础上，提出了希尔伯特公理体系，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化，从此现代公理法思想进入了新阶段.范畴论的奠基人、同调代数的创立者塞缪尔 · 艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）是杰出的形式主义者，继承了希尔伯特、艾米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）等人的理论研究，支持公理化统一论.许多数学家们聚焦于探讨新系统构建的一般性和统一性，向量空间理论系统也顺应了这一潮流.

向量空间是《高等代数》最为基本和重要的概念.向量空间的公理化始于格拉斯曼的《扩张论》，尽管格拉斯曼的著作在当时没能产生巨大影响，他的论述太过艰深导致其他科学家望而却步，使得从格拉斯曼发源的向量思想未能真正的大范围被研究、完善和应用.格拉斯曼给出一种线性结构，用公理化方法介绍了研究对象的基本性质，探讨了进行加、减、数乘和数除运算这四种运算定律.虽然现代向量理论与格拉斯曼系统是相互独立的，格拉斯曼系统所描述的概念与现代向量空间理论有相当大的区别，但是对现代向量空间公理化研究的起步而言，格拉斯曼的工作是具有前瞻性和启发性的.

一、皮亚诺的线性系统研究

在格拉斯曼的工作基础上，意大利数学家皮亚诺（G.Peano，1858-1932）于1888年出版了《几何演算———基于格拉斯曼的<扩张论>》.这部书主要对格拉斯曼的《扩张论》进行了评述，而在文章的末尾，作为总结部分，皮亚诺给出了蕴含他自己独立思想的、并被他称为“线性系统”的第一个公理化定义.

皮亚诺所给出的公理化系统定义如下：

设存在这样一个系统，该系统满足以下条件：

1.系统中两个元素相等，记作[a=b];

2.系统中两个元素相加，记作[a+b]，[a+b]也在这个系统之中，并且满足：

[（a=b）<（a+c=b+c），a+b=b+a，a+（b+c）=（a+b）+c];

3.系统中存在两个元素a和b，设m和n为正整数，有：

[（a=b）<（ma=mb）;m（a+b）=ma+mb;（m+n）a=ma+na;m（na）=（mn）a;1a=a.]其中元素ma表示正整数m和元素a的积;

4.系统中存在一个元素0，使得对任意系统中的元素a，总有0a=0（即元素0和元素a相乘，乘积总为0）.另外，[a-b]可以表示成[a+（-b）]，[a+0=a，a-a=0].

可以看到，皮亚诺对向量空间所做的公理化表述已经很接近现代意义下的向量公理化.虽然和格拉斯曼系统有所相似，但更加简洁实用.从数学史上看，皮亚诺是第一个对线性系统做出公理化定义的数学家，他的研究对线性代数的发展意义重大.

1898年，皮亚诺将自己关于向量系统的公理化进一步完善，提出了第二个线性系统.他在几何概念的基础上陈述了十一个公理，运用反向思维，准备使用向量方法来让几何公理化.在他的公理中，前三个是在描述两点间“等差”的概念，第四个说明了交换律的概念.从第五个开始涉及向量：5.若a是一个点，u是一个向量，则存在一个点b使[b-a=u];6.若a是一个正整数，u是一个向量，如果au=0，则u=0;7.若a是一个正整数，u是一个向量，则存在一个向量v使av=u;8.把向量u和v的内积记作u|v，则u|v是一个实数;9.内积满足u|v=v|u;10.内积满足（u+v）|w=u|w+v|w;11.内积u|u是一个正实数（u[≠]0）.

皮亚诺的第二次公理化显然是对他第一次公理化的完善和补充，他的第二次公理化已经相当接近现代意义下的向量公理化系统，但可惜的是他的理念在当时并没有得到广泛传播.当时的数学家中只有罗素在他的著作《数学原理》中提到了皮亚诺的线性系统，并用向量的公理化定义来解释欧几里得空间，他的研究从某种意义上来讲可以看作是对皮亚诺向量公理的诠释.

二、达布、舒马克与汉默尔的公理化工作

达布（Gaston Darboux，1842-1917）是法国著名数学家.他在数学分析（积分、偏微分方程）以及微分几何（曲线和曲面的研究）领域都有重要贡献.在1875年，他在论文《关于静力的合成》中研究了向量公理化的另外一种方法.和皮亚诺的理念完全不同，他分析了力学中力的合成（即平行四边形法则）的各种证明，运用几何方法处理问题，并设立了自己的一套系统：

给定以O为起点的n条有向线段，有如下四条公理：1.若任意改变分力的顺序，合力不变;2.若各个分力绕点O任意旋转，合力不变;3.力的合成法则同样适用于分力的代数加法运算;4.合力的方向、大小可作为分力的连续函数.

到了1903年，达布的四条公理被德国人舒马克（Rudolf Schimmack，1881-1912）和汉默尔（Georg  Hamel，1877-1954）引用.

舒马克在1903年和1908年分别发表了两篇同名的文章《关于向量加法的公理化建立》.文中首先定义了向量，然后分析了达布的公理化系统并进行讨论，最后提出自己的观点与结论，并将达布的4条公理拓展到7条.

比较达布和舒马克的公理的不同之处，可以发现舒马克把达布的第一条定理分成了三条来解释，丰富了它的内涵，三条定理分别解释了向量加法的唯一性、向量的交换性和向量的可结合性.另外，舒马克用两条公理来诠释达布的第三条公理.

汉默尔的主要工作是他证明了达布的第四条公理.1901年到1904年，汉默尔在他的导师希尔伯特影响下，发表了两篇关于证明达布第四公理的文献，并指出了达布第四定理的必要性和合理性.后一篇论文《所有数的基和代数函数方程[f（x+y）=f（x）+f（y）]的非连续解》在前一篇的基础上完成，并且更加翔实.汉默尔不仅针对代数函数方程进行了非连续解的探讨，同时还给出了函数方程的所有解，并予以严格证明.

达布、舒马克和汉默尔的工作使向量公理化又往前迈了一大步.

三、外尔和有限维向量空间

尽管皮亚诺、达布、舒马克和汉默尔等人在向量的公理化方面做了很多努力，取得了一些成果，但是向量空间公理化的重要性并没有得到共识，以至于在接下来的一段时间里进展缓慢.直到德国数学家外尔（Hermann Weyl，1885-1955）的出现，终于打破僵局.他研究了实数域上的有限维向量，将向量与空间联系在一起.

外尔在20世纪上半叶是影响最深远、研究最广泛的数学家之一.他在分析学、拓扑学、超复数、广义微分几何学等方面都有非常重要的成就.1918年，外尔的著作《空间，时间，物质》出版.书中他以广义相对论为基础，采用新思维使向量空間公理化，将向量看作空间中的位移，把向量和空间中的点联系到了一起.

进而外尔把基向量看作一个n元组，利用坐标来处理向量.他使用“张量”代替“向量”，从n维几何概念开始，逐步讨论了度量几何、欧几里得空间中的张量、非欧几何的注释、张量代数和张量分析等内容.

从上述分析不难发现，外尔所做的工作实际上是现代意义下有限维向量空间公理化.

四、赋范向量空间和向量理论的完善

在外尔之后，哈恩（Hans Hahn，1879-1934）、维纳（Norbert Wiener，1894-1964）和巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）等人都各自给出了向量空间公理化体系，他们完善了赋范向量空间，并且对泛函分析和拓扑学有自己独到的见解.

为了统一对奇异积分进行处理，哈恩在1922年发表了论文《连续线性算子》.文中他将赋范向量空间称之为“线性空间”，定义了指标的完整性，并做了相应的泛函分析.之后，哈恩又在“线性空间”中提出“范数”的概念，使线性空间成了可度量的空间.哈恩一直致力于研究不同的赋范向量空间，讨论这些函数空间上的线性变换、线性子空间、收敛序列和算子等概念.

哈恩的工作倾向于现实分析，他对向量空间的公理化并没有投入太多精力;外尔关心的则是射影几何和数学物理方面;而维纳则更关注泛函分析，他的研究涉及了大量的拓扑结构，面向抽象空间.在1920年的国际数学家大会上，维纳首次介绍了他的空间系统，他所给出的公理化定义其实与现代意义下的赋范空间非常接近，只是没有提到其完备性.他的“向量系统”是包括点集K和向量集[σ]的系统，在其中他定义了向量加法[⊕]、纯量乘法[?]以及模和范数[]的概念.

巴拿赫所做的研究工作在当时所产生的广泛影响是外尔、维纳等人无法匹敌的.他在严格抽象的公理框架下建立了一个完备的赋范向量空间——巴拿赫空间.确切地说，巴拿赫空间具有完备的范数，它包括“实巴拿赫空间”和“复巴拿赫空间”，分别将向量空间建立在实数域和复数域上.此外巴拿赫空间将外尔的有限维空间扩展到了无限维函数空间，深入的研究了空间拓扑.

1922年巴拿赫发表了一篇在1920年完成的博士论文，即《关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用》，文中介绍了巴拿赫空间的公理化方法.另外，巴拿赫还在他1932年的著作《线性算子论》中总结了他关于赋范向量空间的所有成果，书中提到的关于泛函分析的拓扑定理、共鸣定理和闭图像定理等在今天也被广泛采用，引导后世的数学家们研究基于向量空间和泛函分析的各种理论，具有很大的参考价值.

五、现代意义下的向量空间公理化定义

向量发展到21世纪，经过多次完善，形成了现代意义下的向量空间.

设V是数域P上一个n维向量的非空集合，在V中定义了加法，即对于任意[α，β∈V]，存在[γ=α+β，γ∈V];在P与V之间还定义了数量乘法，即对于任意[k∈P，α∈V]，存在[δ=kα，δ∈V]与之对应，[δ]称为k与[α]的数量积.若加法与数量乘法这两种代数运算满足8条公理，就称V是数域P上的向量空间.

当然，向量空间的公理定义不止这一种表述方法，它还有其他的一些同义的可以相互转换的等价公理.这一现象存在的特殊性主要在于向量空间的定义并非完全独立，若元素的加法交换律（公理1）成立，则零元素的存在性（公理3）和负元素的存在性（公理4）等价.但若加法交换律不成立，两者不等价.这种不同也造成了加法交换律，即通常意义下的公理1独立和不独立的两种情况.此外，公理3与4可以用其他命题等价替换.

基和维数将向量空间分为有限维和无限维向量空间，而解析几何的需求使科学家们开始关心向量的度量性质，从而衍生出内积空间和赋范向量空间.

六、小结

不管基于向量的抽象空间公理定义如何拓展，向量空间的中心思想和内涵是统一的.向量空间和基于向量空间的几类空间构成了整个向量理论和线性代数核心理论的基础支架，一代代数学家经过漫长的研究最后形成了向量相关理论简洁、浓缩、实用的公理定义.向量空间的发展过程让我们窥见数学之美丽深邃，而科学文化领域其他概念的发展大抵如此.

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[责任编辑：林志恒]