李昌成 车燕昭

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、题目呈现

二、总体认识

本题处于试卷小题压轴位置，以三角知识为背景，考查取值范围.创新之处在于通过正切一次关系式，导出正余弦一次商式，它们之间关系不熟悉.抽样发现，我的43名参考学生，仅1人得分，足以可见问题的难度(我校一本率为90%左右).因此我把此题当做一个研究素材开展了深入探索.

三、解法探究

1.从同角三角函数基本关系入手

对于(*) 的值域有4种处理方法：

2.从万能公式入手

分析已知条件是正切关系，而万能公式可以将所有三角函数化归为正切函数，所以可以通过升幂、扩角、降幂、化切把问题突破.

以下同解法1.

3.从函数角度入手

4.利用构造法，从已知入手，构造目标式

分析通过对已知正切关系式切化弦，构造出目标式，再求目标式的取值范围即可.减少题目的神秘感，缩近已知与未知间的距离.

5.从几何入手

分析tanB、tanC可以看作直角三角形的直角边的比值，借助关系式tanB=2tanC，把它们构造于共一直角边的两个直角三角形中，如图1.然后再在图中构造sinB、sinC，问题转化为关于比值的函数问题.

以下同解法1.

四、教学启示

1.加强知识生成教学

数学概念的建立，结论、公式、定理的证明，有助于培养学生数学思维.传统教学相对比较注重结果教学.学生应用知识时就显得比较困难.知识生成过程的教授至关重要，它不仅有利于培养学生的学习兴趣，还能提高学生的学习能力.数学的新教材很注重知识……