刘建军

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

抽象函数尽管教材上没有提及，但是教辅资料上、高考试卷中出现了不少的关于抽象函数的题目.由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以很受命题专家的青睐.尽管学生预学了，老师们也深入浅出地讲解了，但学生作业和测试时依然感觉困难，甚至无从下手.于是，我对此问题进行了深入思考和研究.事实上，解决有关抽象函数的问题，主要是依据题设进行恰当地构造，在此过程中，需要学生把握抽象函数的本质，并合理应用.下面我们一起来感悟构造法的魅力，体会抽象函数的“神秘莫测”.

一、抽象函数的概念

我们把没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数.一般形式为y=f(x)，有的还附有定义域、值域等，如：y=f(x),(x>0,y>0).

二、抽象函数的常见形式

2.正比例函数型:f(x+y)=f(x)+f(y)；f(x-y)=f(x)-f(y).

5.周期函数型:f(x+T)=f(x)(T≠0).

三、构造法在抽象函数中的应用

1.构造方程

例1 定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2．求f(0)的值.

分析f(0)虽然是一个常数，但需要确定其具体值，因此我们可以将其看成一个未知数，依托题设“f(x+y)=f(x)f(y)”建立关于“f(0)”的方程.一个未知数只需一个方程，于是解法就确定了，令x=y=0即可求解.

解令x=y=0得，f(0+0)=f(0)f(0).

移项整理得，f(0)[1-f(0)]=0.解得，f(0)=0或f(0)=1.

下证f(0)≠0：

令y=0得，f(x)=f(x)f(0).若f(0)=0，则f(x)=0.此与f(1)=2矛盾.

所以f(0)=1.

评析本问题中应注意增根的甄别.学生可以从一次方程最多有一个根入手，但学生一般不具有这……