刘明远

(河北省滦南县第一中学 063500)

“不等式恒成立求参数的取值范围问题”一直活跃在各级考试之中，尤其是高考题中尤为常见．因为这类题目综合性强，难度大，能力要求高，很多学生望而生畏，无从下手，但这种题目中，其本质根源在于参数变化时，函数的图像与x轴的关系出现交、切这两种临界情况，所以寻找临界值点——区间端点和切点，此类问题便可轻松求解，下面举例说明．

一、只存在“切点”

若函数在所给区间的端点没有意义，则只考虑切点，便可求出参数的取值范围．

例1(2020年高考山东卷·21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

分析(1)略．(2)因为定义域为(0，+∞)，所以此类题目的临界值没有“区间端点”，因此只考虑“切点”，便可求出参数的取值范围，即f(x) 与y=1相切．

综上，该题结果为a≥1．

解析(1)略．

(2)由f(1)≥1得a+lna≥1，解得a≥1．

当a≥1时，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx．

二、只存在“区间端点”

若函数在所给区间不能与x轴相切，则只考虑区间端点，当函数在区间端点有意义，应先代入端点值满足题设，若此时不能求出参数的范围，则考虑变量分离，用端点的极限值便能求出参数的范围．

例2(2010年新课标卷·21)设函数f(x)=ex-1-x-ax2．若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

分析①考虑区间端点．f(0)=0显然成立，即a∈R，所以此时应考虑极限值．

②考虑相切．设f(x)与x轴相切于(t，0)(t>0)，则f(t)=0；f′(t)=0，所以et-at2-t-1=0；et-2at-1=0，消去a得(t-2)et+t+2=0，解得t=0(舍)．

三、存在“区间端点”和“切点”

若函数在所给区间端点处有意义且存在与x轴相切的情况，则参数的范围为两种临界状态的交集．

例3(2013年高考全国Ⅰ卷·21题改……