陈香君 (内江师范学院数学与信息科学学院 四川省内江六中 641100)

赵思林 (内江师范学院数学与信息科学学院 641100)

2021年高考数学全国卷共有六套试卷，各具特点，都很好地落实了数学学科立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能[1]．《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确函数是课程内容的主线之一，其对学生学习函数内容的要求除获得“双基”外，还要感悟和运用函数中蕴含的数学思想方法，促进发展六大核心素养．构造辅助函数是函数思想方法的基础性方法．辅助函数的构造方法很多，包括“超越式”构造、“对称式”构造、“同构式”构造、“引参式”构造等具体方法．运用构造法能够巧妙、简洁地解答2021年高考数学全国卷中的一些问题．构造辅助函数也是处理一些地方的模考试题的基本方法．

1 “超越式”构造

例1(2021新高考I卷第7题)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则( )．

A．eb

C．0

现在的问题归结为：关于x0的方程1+a=x0+b·e-x0有且仅有2个解．这是一个含2个参数a,b的超越方程，直接求解或获得解的情况均不可能．从而可考虑构造辅助函数，通过研究辅助函数的某些性质(如单调性、极值或最值等)，并借助于这些性质，以获得问题的解决．

评析本题得到1+a=x0+b·e-x0后，容易发现这是一个超越方程，无法直接求解和判断解的情况．于是，考虑构造辅助函数h(x)=x+be-x，通过研究h(x)的最小值与1+a的大小关系，建立不等量关系，从而巧妙获解．

函数综合题一般会涉及超越函数，这是高考的重点、难点和热点内容．其处理方法一般是构造辅助函数，利用高阶求导、隐零点转化、精准放缩、设而不求等技巧求解．