冯依虎 莫嘉琪

(1-亳州学院电子与信息工程系，亳州 2 36800; 2-上海大学数学系，上海 2 00436;3-安徽师范大学数学与统计学院，芜湖 2 41003)

1 引言

非线性积分-微分方程模型在数学物理、工程数学、生态数学、物理化学等应用数学学科中都有很广泛的应用.利用奇异摄动方法来求解相应的数学模型，诸多学者已经做了很多研究[1-9].Mo等[10-17]用多重尺度、同伦映射、变分迭代等理论，讨论了一类反应扩散、大气物理、光晶格等方面的问题.Feng等[18-26]也用奇异摄动方法对一类孤立子波、分数阶微分方程、自治系统等模型也做了一些工作.

本文是利用奇摄动理论和方法来讨论一类发展方程Robin问题，得到了相应模型的一致有效的广义渐近解.

现讨论如下奇摄动积分-微分发展方程Robin问题

微分算子

系数αµσ是在C∞(Ω)中的实值函数，L为一致椭圆型算子，T为积分算子

(v,z)是被定义在H1(Ω)上的内积.

我们假设：

(H1): 微分-积分发展方程(1)–(3)的退化情形的积分方程

有解U00∈H1(Ω)；

(H2): 下列方程

成立，其中c1为正的常数.

2 Fredholm积分方程广义解

现构造发展方程模型(1)–(4)的广义外部解U.设

将(6)式代入积分-微分发展方程(1)，按ε和µ的幂展开对应的非线性项F，合并εrµs同次幂的系数.取对应ε0µ0的系数为零，它就是Fredholm积分方程(5).由假设知，它的解为U00.

取对应εrµs(r,s=0,1,···,r+s̸=0)幂的系数为零，可得如下Fredholm积分方程

其中

由Fredholm积分方程(7)，可以得到对应的广义解Urs(r,s=0,1,···,r+s̸=0).将它们代入(6)式，便得到积分-微分发展方程模型(1)–(4)的广义外部解U.但它未必满足模型的边界条件(2)和初始条件(3),(4).因此，我们还需构造积分-微分发展方……