王旦霞, 贾宏恩, 李亚倩

(太原理工大学数学学院，太原030024)

1 引言

Cahn-Hilliard方程是一个非常重要的数学物理模型，该方程是由Cahn和Hilliard在1958年提出，用于描述复杂的相分离和粗化现象[1-3].本文要研究的Cahn-Hilliard方程具有如下形式

许多学者针对快速数值求解非线性问题进行了研究.例如，文献[9]中研究了有限差分格式和自适应时间步长方法，文献[10]提出了大时间步长方法，文献[11]提出了两层空间网格方法.最近，针对时间分数阶水波模型，文献[12]中提出了时间双层网格有限元方法，文献[13]中使用该方法快速求解空间分数阶Allen-Cahn方程，并证明了该方法的有效性和可行性.

受文献[12,13]的启发，本文针对非线性Cahn-Hilliard方程，提出了时间双层网格有限元方法，该方法需要分两步进行：第一步，在粗的时间步长上求解非线性系统；第二步，在细的时间步长上求解线性系统.相比传统的Galerkin有限元方法，在精确度相同的情况下，本文提出的方法可以节省计算时间.

2 理论准备

为了之后证明的方便，首先引入一些范数的定义和引理.L2(Ω)是平方可积函数空间，内积和范数分别是

H1(Ω)是通常的Sobolev空间，半范和范数分别是

其中

且

采用以下的记法

注1 引理1和引理2中的常数C独立于时间t.

3 数值格式与TT-M FE方法

3.1 全离散格式

令Th={e}为Ω的拟一致剖分，hi是空间网格步长，且h=max0≤i≤n hi，对任意的整数k，定义有限元空间

其中Pk(x,y)是x,y的次数不超过k∈Z+的多项式的集合.问题(1)的的全离散格式为：求Un:[0,T]−→Vh，使得

其中U0=uh0(x)是u0(x)的一个逼近，Un代表u(x,t)的全离散逼近.

3.2 时间双层网格有限元……

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