武 瑛, 高萌瑶, 张雪林

(1-西安科技大学理学院，西安 7 10054;2-陕西师范大学数学与统计学院，西安 7 10062)

1 引言

Shannon采样定理是信号重构理论的基础，并已成为通信工程和信息论中最重要的数学技术之一.与此同时该定理也渗透了许多物理和工程分支，如信号分析、图像处理、雷达、声纳、声学、光学、全息、气象学、海洋学、晶体学、物理化学、医学成像等等[1].该定理具有悠久的研究历史，曾被多位学者独立研究发现.最早于1915年由Whittake在数学文献中做出阐述[2]，而后Kotel’nikov于1933年在工程文献上发表了采样定理的相关文章[3].1948年Shannon利用采样定理证明了模拟带限信号在信息意义上等价于其按Nyquist速率采集的样本级数[4].因此，它也被称为Nyuist-Shannon采样定理和Whittaker-Kotel’nikov-Shannon采样定理，并作为插值理论中的基本定理.Shannon采样定理阐述了用离散样本重构连续信号的方法，具体来说它主要分析了两个问题：第一，哪类具有有限能量的连续时间信号，可以通过仅使用等距离采样来做出唯一地表示；第二，如何进行重构.关于更详尽的相关解释建议参考文献[5].在数学上，这个定理描述如下.

其中

前人已经对(1)中主级数的收敛速率进行了广泛研究.原始的研究致力于采样定理在每一个点t∈R处的点点收敛，并证明了该主级数在R的每一个紧支集上是一致收敛的.此外，文献[6]证明了主级数依L2范数收敛到信号f，即

在p=2时成立.当1

理论上来说，要得到精确的重构就需要无限多的样本.然而在实际应用中，只能获得有限个样本，这也就……