寿 媛，张 辉

( 西华师范大学 1.数学与信息学院； 2.教育信息技术中心，四川 南充 637009)

KdV方程是具有三阶的非线性偏微分方程，在各个领域中有广泛的用途. 近年来，诸多学者对该方程的数值方法、边界问题、初值问题、热平衡整体积分法、有限差分法等[1-7]进行研究，取得一些成果. 一般表示形式如下：

ut+εuux+μuxxx=0

(1)

其中ε和μ是正的实常数.

Multiquadric函数拟插值,简称MQ拟插值,其优点是不用求解径向基函数插值中出现的系数矩阵，能减少计算量. 诸多学者[8-13]构造了一系列拟插值算子，本文用拟插值算子：

Lf*Rf(x)=Lf*{xk(j)}f(x)+Lf*{xj}ε(x)

(2)

其中

ε(x)=f(x)-Lf*{xk(j)}f(x)，Lf*{xj}ε(x)

本文用(2)式替换KdV方程空间变量的一阶导数，用二阶中心差商思想和一阶向前差商替换KdV方程空间变量和时间变量，无须计算导数值.

1 数值方法

针对三阶KdV方程

x∈Ω=[a,b]，t>0

(3)

初始条件：u(x,0)=u0(x)，

边界条件：u(x,t)=f(t)，x∈∂Ω，t>0，ux(b,t)=g(t)，t>0.

对(3)式按照时间步长τ离散，

ut+εuux+μuxxx=0

(4)

得差分格式

(5)

即

(6)

用(2)式近似(6)式中空间变量导数ux，得

(7)

用二阶中心差商来近似uxxx近似空间变量的三阶导数uxxx，得

(8)

2 数值实验

将(7)式和(8)式代入三阶KdV方程的差分格式(6)式，求解例1和例2中两种KdV方程的数值解，记为MQQIs，计算数值解与方程解析解的绝对误差，记为Error1，与肖敏璐计算的数值解(MQQI[6])和绝对误差(Error2)进行比较.

例1单孤立波的传播[4-5]. 对于KdV方程的(3)式，其中ε=6，μ=1.

r=0.5.

其中边界函数f(t)和g(t)均可以从精确解u(x,t)中获得. 计算时取0≤x≤40，0≤t≤5，c=0.2799，τ=0.001，h=0.2.

例2双孤立波的传播[4-5]. 对于KdV方程的(3)式，其中ε=6，μ=1.

初始条件：u0(x)=12

精确解：u(x,t)=12

其中边界函数f(t)和g(t)均可以从精确解u(x,t)中获得. 计算时取-5≤x≤15，0≤t≤0.1，c=0.01，τ=0.00001，h=0.1.

由表1、表2、表3可知： 第一，时间t取值相同时，随着空间节点x的增大，本文方法的数值解MQQIs比肖敏璐的数值解更接近解析解，其绝对误差较小； 第二……