周 科

(南宁师范大学 数学与统计学院,广西 南宁 530100)

0 引言

设整数D>2,且无平方因子.丢番图方程

x3±1=Dy2

(1)

是一类重要的丢番图方程,对这类方程整数解的研究有着大量的文献.柯召、孙琦在文[1，2]中证明了当D不含6k+1型素因数时,方程(1)无非平凡解.但当D含6k+1型素因数时,方程的解的情况比较复杂，求解过程亦较为困难.2003年，罗明证明了x3+1=7y2仅有整数解(x,y)=(-1,0)，(3,±2)[4].2009年，瞿云云等人证明了x3+1=119y2仅有整数解(x,y)=(-1,0)[5].本文利用Pell方程的解所给出的递归数列的性质与同余式证明了丢番图方程x3-1=1333y2仅有整数解(x,y)=(1,0).

1 引理

引理1[6]若D是一个非平方的正整数,则Pell方程

x2-Dy2=1,x,y∈N+，

(2)

引理2[7]方程4x4-3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,±1).

引理3[7]丢番图方程x2-3y4=1仅有整数解(x,y)=(±2,±1),(±7,±2),(±1,0).

引理4[7]丢番图方程x4-3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,0).

2 主要结果

定理1丢番图方程

x3-1=1333y2

(3)

仅有正整数解(x,y)=(1,0).

证明设(x,y)是(3)的解.因为gcd(x-1,x2+x+1)=1或3,故分以下8种情况进行讨论：

(I)x-1=a2，x2+x+1=1333b2,y=ab;

(II)x-1=31a2，x2+x+1=43b2,y=ab;

(III)x-1=43a2，x2+x+1=31b2,y=ab;

(IV)x-1=1333a2，x2+x+1=b2,y=ab;

(V)x-1=3a2，x2+x+1=3999b2,y=3ab;

(VI)x-1=93a2，x2+x+1=129b2,y=3ab;

(VII)x-1=129a2，x2+x+1=93b2,y=3ab;

(VIII)x-1=3999a2，x2+x+1=3b2,y=3ab,

这里，a≥0,b>0,gcd(a,b)=1.

情形(I)由于x2+x+1=x(x+1)+1为奇数，故x2+x+1=1333b2中b为奇数，因而b2≡1(mod 8).方程x2+x+1=1333b2两边模8，得x2+x+1=1333b2≡5b2≡5(mod 8),解之得x≡3,4(mod 8).代入第一个方程有：2,3≡x-1=a2(mod 8).这与模8的平方剩余为0，1，4矛盾.

故在该情形时方程(3)无整数解.

(4)

(5)

不妨假设U>0,V≥0.以上四式只需考虑(4)和(5)取“+”的情形.

由式(4)得到递归序列

un+2=6964un+1-un,u0=13,u1=90932.

(6)

对递归序列(6)取模62，得到以下周期为32的剩余系列：13，40，43，14，51，14，43，40，13，34，47，38，31，24，15，28，49，22，19，48，11，48，19，22，49，28，15，24，31，38，47，34.

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