陈桦剑,韦煜明

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

1 引言

时滞效应在传染病传播过程中扮演着重要的角色，具有时滞效应的传染病动力学模型能更准确地描述传染病的传播机制，传染病的潜伏期可以用时滞模拟,因此，许多学者开始研究具有时滞效应的传染病模型[8，9，10].

受到上述文献，以及文献[11,12]的启发，本文综合考虑潜伏期时滞对具有饱和发生率和恢复率的SEIR 传染病动力学模型的影响，提出一个具有饱和发生率和恢复率的潜伏期时滞SEIR模型，讨论模型平衡点的存在性.通过构建李雅普诺夫函数，利用LaSalle不变集原理和Hurwitz定理讨论模型的平衡点稳定性，指出：当R0≤1时，模型的无病平衡点全局渐近稳定；当R0>1时，地方病平衡点局部渐近稳定.

2 模型

考虑以下时滞微分方程系统：

(1)

(H2) 当I≥0时，g″(I)≤0且g′(I)≥0.

假设系统(1)满足初始条件：

由于系统(1)中第一、第三、第四个方程不含E，故研究系统(1)可以转化为研究下列系统：

(2)

3 解的非负性和有界性

引理1在初始条件S(0)>0，I(0)≥0，R(0)≥0下，系统(2)的解始终非负有界.

证明非负性[13]用反证法.假设存在最小的时间t1>0，使得S(t1)=0，则将其代入系统(2)中的第一个方程可得

S′(t1)=Λ>0,

于是存在一个充分小的ε，使得在(t1-ε,t1)上有S(t)<0，这与在(0,t1)上S(t)>0矛盾.

假设存在最小的时间t2>0，使得I(t2)=0，则将其代入系统(2)中的第二个方程可得

I′(t2)=e-μτS(t2-τ)g(I(t2-τ))≥0,

于是存在一个充分小的ε，使得在(t2-ε,t2)上有I(t)<0，这与在(0,t2)上I(t)>0矛盾.

由系统(2)第三个方程可得

再由比较定理得出R(t)≥R(0)e-μτ≥0,因此，非负性得证.

有界性因为N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)，所以

因此，

4 基本再生数和平衡点

基本再生数是刻画传染病发病初期疾病传播状况……