刘 雄

(岭南师范学院 数学与统计学院,广东 湛江 524048)

1 引言

随着时代的发展，在解决实际应用问题中，随机变量成了不得不考虑的因素，这使得越来越多的国内外数学家和物理学家开始关注变系数KdV方程和随机微分方程的研究，包括变系数KdV方程、随机KdV-MKdV方程和随机Fisher方程的研究等.对这些方程的研究已产出许多成果([1，2，3，4，5，6]).但是，由于随机因素和波动因素的引入，要想直接计算出这些方程的解析解和精确解难度非常大.最近几年，随着随机条件下非线性发展方程精确解研究的不断深入，在有关随机KdV方程的研究方面，相继产生了不少优秀成果([7，8，9，10，11，12]).本文在前人研究的基础上，将Holden、闫振亚([4，7])等人的白噪声框架下Wick形式的随机偏微分方程的结论进行推广，应用到广义随机KdV方程组.利用白噪声分析法和齐次平衡法来研究Wick-型的广义随机KdV方程组的随机精确解.我们考虑如下形式的方程组：

Ut+6H1(t)◇U◇Ux-6H2(t)◇V◇Vx+H1(t)◇Uxxx=0,

Vt+H1(t)◇(3U◇Vx+Vxxx) = 0,

(1.1)

其中,Hi(t)(i=1,2)是白色噪音泛函,将在第3部分给出其具体表达式;◇是Hida分布空间(S(Rd))*上的Wick乘(下节给出定义).

2 理论与方法

考虑形如

A(t,x,∂t, ▽x,U,ω)=0

(2.1)

的随机偏微分方程,其中A为某个给定的函数,而U=U(t,x,ω)是一个未知(或广义)的随机过程,算子∂t=∂/∂x,▽x=(∂/∂x1,…,∂/∂xd),x=(x1,…,xd)∈Rd.

上面的随机偏微分方程的Wick形式为

A◇(t,x, ∂t, ▽x,U,ω) = 0.

(2.2)

我们用埃尔米特变换把公式(2.2) 的Wick乘积变成普通的乘积,也就是

(2.3)

3 方程的解

3.1 Bäcklund变换

下面利用给出的理论和方法求方程(1.1)的精确解.首先对方程(1.1)用埃尔米特变换得

ut+6H1(t,z)uux-6H2(t,z)vvx+H1(t,z)uxxx=0,

(3.1)

vt+H1(t,z)(3uvx+vxxx)=0.

(3.2)

由齐次平衡原则,令方程组(3.1),(3.2)有如下形式的解:

(3.3)

(3.4)

其中,f,g是φ的单变元函数,即为f(φ),g(φ),而φ=φ(x,y,t,z)为待定……