刘慧娟

摘  要：该文研究了适合一定条件的方阵n×n的对角化问题，应用矩阵的零化多项式、特征值、特征向量、矩阵的秩及其不等式等概念和理论，谨慎使用同一矩阵A的多项式，适合交换律的特殊性和非零幂零矩阵不可对角化的性质，给出了当矩阵A零化多项式的次数分别为2和3时，方阵A是否可以对角化的判别方法。这些方法对于矩阵论的教学与研究是十分有益的。

关键词：矩阵  特征值  特征向量  矩阵的秩  零化多项式  对角化

中图分类号：0221.4                           文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）03（a）-0109-03

The Annihilator Polynomial of a Matrix and Its Diagonalization

LIU Huijuan

（ Center of General Education， Zhengzhou Business College， Gongyi， Henan Province， 451200  China）

Abstract：The diagonalization of a matrixn×nis found and proved. Two results on diagonalization of matrices which annihilator polynomials with degree of 2，3 are obtained by the theories of annihilator polynomial， eigenvalue and eigenvector， the rank and their inequality， the same matrix A is suitable for the particularity of the commutative law and the property that non-zero nilpotent matrices cannot be diagonalized. These are beneficial for the teaching and research of matrix theory.

Key Words：Matrix; Eigenvalue; Eigenvector; Rank of a matrix; Annihilator polynomial; Diagonalization

形式最简单的矩阵是对角矩阵，如果矩阵的相似标准形是对角矩阵，那样，一个矩阵的秘密就暴露无遗了。人们立即可以知道它的行列式，它是否可逆，它的谱每一个的代数重数及几何重数、它的最小多项式和初等因子等情况。关于矩阵对角化的研究，人们已经给出了一些充分必要条件，最为人们熟悉的有“n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量”[1]和“设n×n，则A为正规矩阵当且仅当A相似于一个对角矩阵D[2]”。该文利用矩阵的零化多项式，给出n阶方阵A可以对角化的两个基本结果。

定义：给定矩阵n×n，如果多项式：

满足，称是A的一个零化多项式。

讨论中会用到下面两个关于矩阵秩的不等式[3]：

（1）不等式：

（2）若n×n，且，则

1  基本结果

引理1：设n×n，是一个常数，则A可以对角化当且仅当可以对角化。

定理2：设是A的一个零化多项式，则：

（1）当时A可以对角化;（2）当时，A可以对角化的充要条件是。……