阚永志

(辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001)

等可能概型在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型，其中的事件概率的学习即古典概率的学习也就称为概率论学习中最基本的内容之一。由于古典概率的学习是学好概率论的基础，而且学生在初学古典概率时，常常会犯各种错误，所以有必要将一些常见的典型错误进行评析，并指出需注意的问题。

一、实例错解评析

（一）事件的包含关系与概率的关系之间存在的一种错误

实例1 设A,B为任意两个事件，满足P(AB) =P(A)，问A⊆B是否成立？

对于本例，一定会有多数人认为A B⊆ 一定成立。原因是：既然A与B的积事件的概率等于A的概率，就类比A与B两个集合的交集应等于集合A，则必然会有集合A是集合B的子集，即A B⊆成立。

实际上，A B⊆ 是不一定成立的，那么，它错在什么地方呢？显然，若A B⊆，则AB=A，也就有P(AB)=P(A)；但反过来，若P(AB) =P(A)，则AB=A是不一定成立的

即A⊆B不一定成立。

例如：设X是一个连续型随机变量，A={1 ≤X≤ 3}，B={1 ≤X＜3}，显然AB，且B⊂A，但却有P(AB) =P(A).实际上，AB=B，则P(AB)=P(B)；而A=B∪{X=3}，则

P(A) =P(B)+P{X=3}，

又连续型随机变量取任意指定实数值的概率均为零，因此P{X=3}=0，从而P(A) =P(B).综上P(AB) =P(A).又如：

其中X是一个连续型随机变量，xi≥3,i=1,2,…

显然A B，但仍有P(AB)=P(A).实际上，由AB={1≤X＜2}，知P(AB)=P{1≤X＜2}.而

其中P{X=xi}=0(i=1,2,…)，

则P(A) =P{1 ≤X＜2}，故P(AB) =P(A).

（二）抽签模型中的概率及概率与条件概率的理解错误

实例2 袋中有a个白球、b个黑球，依次将球一个个取出，不放回。

设事件A1={第一次取出白球}，A2={第二次取出白球}，Ak={第k次取出白球}(1 ≤k≤a+b)，试求P(A2)和P(Ak).

（1）对于P(A2)，由于有事件A1的干扰或对事件A2的理解角度偏颇，所以部分初学概率论的学生在求P(A2)时，会出现各种不同的计算错误。……