王芝平 范方兵

(1.北京宏志中学 100013；2.北京市第二中学 100010)

(Ⅲ)对任意确定的一个数阵A0，证明：TS(A0)的所有可能取值的和不超过-4.

这是2020年3月北京市高考适应性测试数学卷最后一题，众多的字母符号、新颖的变换规则以及高度的抽象性，让相当一部分学生“望题兴叹”！为了让更多的学生更好地理解题意，我们在不改变题目本质的情况下，将试题重新表述如下：

若S={e1，e2，…，el}⊆U，其中，e1

(Ⅲ)对任意确定的一个数阵A0，证明：所有TS(A0)的和不超过-4.

下面给出我们对这道题的思考与解答过程.

谋定思路为了叙述方便，我们引入下面记号与术语：

1.将“数阵P经过φk变换得到的数阵Q”记作：φk(P)=Q，读作“数阵P经过k变换后得到数阵Q”.

2.将“φS(A0)”记作“φS(A0)=Al”，读作“数阵A0经过集合S变换后得到数阵Al”.显然A0经过集合S变换，就是A0依次经过集合S中各元素ei(i=1，2，…，l)对应的变换φei，最后得到Al.

前两问的目的既是帮助考生理解题意，也是给考生送一些分数，这在大型考试中是非常必要的.

对于第(Ⅲ)问，因为TS(A0)是A0经过集合S变换得到的数阵Al中四个数的和，所以一个值得考虑的问题是，数阵Al中每个数与原数阵A0中对应位置上的数有什么关系？

显然数阵Al中每个数与数阵A0中对应位置上的数要么相等，要么是一对相反数.“相等”与“相反”取决于集合S中的元素.

让我们再反复阅读题目中的这句话：

“对任意确定的一个数阵A0，证明：所有TS(A0)的和不超过-4.”

因为数阵A0是确定的，所以TS(A0)是随集合S变化而变化的.

所以，我们再来考虑集合S：由题设知，S是集合U的63个非空子集.经验告诉我们，从整体……