严兴光

(浙江省杭州第十四中学 310006)

1 问题的提出

在三角函数概念教学中，教师通常会先复习初中锐角三角函数，再把直角三角形移到直角坐标系中，提出“你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？”再提出“我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义?”由此展开三角函数概念教学.

人教A版普通高中教科书·数学(2019版)的教材解读中对以上引入作了如下点评：

“终边上点的‘坐标比’定义三角函数能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有不利影响.”

解读中肯定了这种引入的优点：在最近发展区开展教学；也提出了不足：不利于把握三角函数的本质.那么，三角函数的本质是什么呢？锐角三角函数与任意角三角函数区别是什么？理解任意角三角函数的本质对三角函数概念的教学又有怎样的意义？

2 三角函数的本质

初中锐角三角函数与高中的任意角三角函数有本质的区别吗？答案是肯定的.史宁中在《数形结合与数学建模》提到：初中锐角三角函数表达的是关系的度量，而不是关系本身；如果把三角函数作为函数，那么这个函数应当描述角的大小与三角函数值的关系.这种关系指的是自然界和生活中的周期现象，事实上绝大多数周期性都可以通过三角函数的线性组合予以表征.项武义在《基础数学讲义丛书⋅基础几何学》中提到，正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；……