安徽

(作者单位：安徽省砀山中学)

曲线运动是高中物理的重要内容，是联系动力学与电磁学的重要桥梁和纽带，研究此类问题往往是通过建构物理模型，进行运动的合成与分解，化曲为直、化繁为简，把复杂的运动分解成简单的运动进行分析，因此运动的合成与分解是联系直线运动与曲线运动的重要桥梁，其中力和运动的独立性是能把运动进行合成与分解的基础和关键，蕴含着丰富的科学思想和内涵，是我们求解相关问题的基础和关键。笔者在实际教学中发现多数学生对独立性知识还不能做到恰当应用，所以希望通过本文来引起大家思考、交流、讨论、完善，从而能在教学中恰当地应用，做到基础与能力并重、基础与素养兼容，提高分析问题、解决问题的能力，有效提升学生的学科核心素养，为学生的终身发展奠定基础。

一、利用独立性挖掘题目隐含条件

【例1】如图1，一个质量为m，带电荷量为+q的粒子，从a点以大小为v0的初速度竖直向上射入水平方向的匀强电场中。粒子通过最高点b时的速度大小为2v0，方向水平向右，重力加速度为g。

图1

求：(1)该匀强电场的场强大小E；

(2)a、b两点间的电势差Uab。

【点拨】带电粒子在电场中运动时重力是否考虑，一般按下述三种方式判断：①首先看题中是否有明确说明或暗示；②没有明确说明或暗示时的基本粒子，如电子、质子、α粒子等一般不考虑重力；③没有明确说明或暗示时的带电微粒，如液滴、油滴、尘埃、小球等一般不能忽略重力。在例1中没有明确说明是否考虑重力，但根据独立性，水平方向的电场力只能使水平速度增加，不能使竖直速度减小，所以必须考虑重力，这就是题目的暗示。

二、利用独立性优化解题过程

【例2】在例1中粒子运动速度的最小值是多大？

图2

三、利用独立性构建简单的分运动

【例3】如图3，空间足够大的区域中存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，一个质量为m，带电荷量为+q的小球以一定的速度水平向右做匀速直线运动，如果某时刻撤掉电场，试求在之后的运动过程中小球下降的最大距离。

图3

四、利用独立性纠正和规范解题过程

图4

(1)匀强电场的电场强度大小E；

(2)小球到达P点时的速度大小vP和B、C两点间的距离x；

(3)若小球从P点飞出后落到水平轨道上的Q点(图中未画出)后不再反弹，求Q、C两点间的距离L。

图5

图6

五、利用独立性对比研究分运动降低难度

【例5】如图7，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和-q(q>0)的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下，M在电场中做直线运动，M刚离开电场时的动能为N刚离开电场时动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：

图7

(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比；

(2)A点距电场上边界的高度；

(3)该电场的电场强度大小。

六、利用独立性对比研究分运动突破困局

【例6】如图8，甲、乙、丙三个光滑轨道，甲是水平轨道，乙是向下凹的圆弧轨道，丙是向上凸的圆弧轨道，三个轨道水平方向距离相同，图中虚线在同一水平面上。现有三个完全相同的小球分别从相同高度由静止开始滚下到达轨道的右侧，三个小球运动过程中始终未脱离轨道，下列说法正确的是

( )

图8

A.甲轨道上的小球先到达右侧

B.乙轨道上的小球先到达右侧

C.丙轨道上的小球先到达右侧

D.三个轨道上的小球同时到达右侧

【解析】由题意可知，丙球先减速后加速，水平方向平均速度小于甲球速度；甲、乙相比时，由于小球运动过程中始终未脱离轨道，若速度较大，则斜面倾角趋于0，甲、乙时间趋于相等，若倾角趋于90°，要不脱离轨道，甲、乙球进入水平段的速度只能趋于0，而乙球先加速后减速，平均速度不趋于0，显然先到达，故B正确。

【点拨】这是2020届某名校联考试题，在上述的分析中使用了极限分析法，虽然极限分析法在分析问题时可以避开繁杂的数学运算，得出极端情景下的结果，但此种方法毕竟是从特殊到一般，如果是复杂的变化过程，出现非单调变化时，就会出现以偏概全，不能真正掌握变化规律的情况。在大多数资料中都有比较运动时间长短的类似问题，通常是通过画速度—时间图像的方式进行分析，但所给的条件是物体运动的轨迹长相等，而本题是三个轨道水平方向距离相同，也正因为这一点变化所以例题的解析没用图像法，使用了存在风险的极限分析法。由于本题的条件是水平距离相同，所以可以把力和速度都向水平方向分解，仅通过水平分运动进行比较。在水平方向上，不管支持力的大小发生怎样的变化，乙所受支持力的水平分力是先向左后向右，乙在水平方向上一定是先加速后减速，而丙在水平方向上的受力和运动规律正好与乙相反，结合能量关系三个物体回到虚线所在水平面时速度相等，因此根据水平方向的速度—时间图像很容易得到乙轨道上的小球先到达右侧。

七、利用独立性评估情景真伪加深认识

【例7】在平行于纸面内的匀强电场中，有一电荷量为q带正电的粒子，仅在电场力作用下，粒子从电场中A点运动到B点，速度大小由2v0变为v0，粒子的初、末速度与AB连线的夹角均为30°，如图9所示，已知A、B两点间的距离为d，则该匀强电场的电场强度为

( )

图9

由于物体受到恒定的电场力作用，所以做的是类斜抛运动，和上述分解方法不同，换种分解的思路，可以把运动分解成沿电场力方向做匀变速直线运动和垂直于电场力方向做匀速直线运动，可见速度变化量的方向一定沿力的方向，由速度的矢量三角形定则可得，初速度、末速度、速度变化量的关系如图10所示，由数学知识可知此三角形是直角三角形，速度变化量与水平方向成30°角，因此场强与水平方向间的夹角为30°，是特殊角。

图10

上述两种分析方法不同，结果也不同，两种解法都没问题，而是命题者想考独立性又没能真正把握独立性，自己臆造了一个题，出现了不自洽的情况，实际上速度的大小和方向不可能同时出现上述变化。学起于思，思源于疑，疑则诱发探索，因此要敢于质疑和批判，在质疑和批判中求真求实、认识事物本质，在质疑和批判中实现思维方式的转变和创新能力的提升。