浙江

(作者单位：浙江省义乌市第二中学)

追及和相遇问题作为运动学中一类较为典型的问题，其本质就是研究两个物体能否在同一时刻到达同一位置。求解此类问题属于运动学规律的应用问题，把握追赶物体与被追赶物体之间的追及和相距最远(或最近)的临界条件，是顺利解题的关键。本文就如何解答追赶问题作初步的探讨。

一、把握一个条件

两个运动的物体速度相等时，是两个物体间能否追上或两个物体距离最大、最小的临界条件，这是分析判断追及相遇问题的关键点。因此，在审题时必须抓住问题中的关键字眼，充分挖掘问题中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等。

二、抓住两个要点

1.若被追赶的物体做匀减速直线运动，则必须注意追上前该物体是否已经停止运动。

2.要注意对解题结果的分析讨论，尤其要注意解题结果必须与实际情况相符。

三、理清三大关系

理清两个运动物体间的速度关系、时间关系、位移关系是解决追及相遇问题的重要步骤。

1.时间关系：t1=t2±t0。要注意弄清两个物体是同时出发还是先后出发，由此，可以确定两个物体运动的时间关系。

2.位移关系：x1=x2±x0。确立两个物体间的位移关系是求解追及相遇问题的关键步骤。解题时必须明确两个物体是从同一位置出发还是从不同位置出发的，由此可以建立两个物体间的位移关系。

3.速度关系：v1=v2。两个运动的物体，其速度相等是判断是否能追上或者两个物体间距离最大(或最小)的临界条件。

四、巧用四种方法

1.临界法。速度相等往往是两个追赶物体是否追上或相距最远(或最短)的临界条件。如速度较小的物体加速追赶速度较大的物体，当两物体的速度相等时有最大距离；速度较大的物体减速追赶速度小的物体，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。

【例1】小成以v0=7 m/s的速度追赶前方x0=10 m处、从静止开始以加速度为a=2 m/s2做匀加速直线运动的客车，则：

(1)小成能否追上客车？

(2)若能追上，要经过多长时间？

【分析】(1)若客车的速度达到v=7 m/s时小成还没有追上，则以后就再也追不上了。设客车的速度达到v=7 m/s 所经历的时间为t，由速度公式得

在t=3.5 s内，小成通过的位移为

x1=v0t=7×3.5 m=24.5 m

在t=3.5 s内，客车通过的位移为

显然，x1>x2+x0，可见，小成可以追上客车。

代入数据，联立以上方程解得t1=2 s，t2=5 s(不符题意，舍去)

2.函数法。设在t时刻追赶物体追上被追赶物体，由位移关系求出关于t的方程f(t)=0，若方程f(t)=0无正实数解，则说明它们不可能相遇；若方程f(t)=0存在正实数解，说明它们可以相遇。

【例2】火车A以vA=20 m/s的速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距x0=100 m处有另一列火车B正以vB=10 m/s速度匀速行驶，火车A立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？

代入数据解得at2-20t+200=0

要使两车不相撞，则以上方程应无实数解，即满足

b2-4ac<0

代入数据得(-20)2-4×a×200<0

解得a>0.5 m/s2

3.图像法。若通过作出位移—时间图像(x-t)求解，则如果两个物体的位移—时间图像有相交点，说明追赶物体可以追上被追赶物体；若通过作出速度—时间图像(v-t)求解，则由图线与时间轴包围的面积来判断追赶物体能否追上被追赶物体，若在t时间内两个物体在图像上相应的面积相等，则说明可以追上。

【例3】如图1所示，一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？汽车追上自行车所用的时间是多少？

图1

【分析】先作出自行车和汽车的速度—时间图线如图2所示。

图2

显然，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，从图中看到，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。

由于v-t图像的斜率表示物体的加速度，则

解得t0=2 s

因此，在t=2 s时两车的距离最大，即

设经时间t1汽车追上自行车，由面积关系得

解得t1=4 s

4.相对运动法。用相对运动的知识求解追及问题时，常把被追赶物体作为参考系，这样，追赶物体相对被追赶物体的各物理量即可表示为x相对=x后-x前，v相对=v后-v前，a相对=a后-a前，求解时注意将各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定。

【例4】火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？

【分析】以前车为参照系，后车的初速度为v0=v1-v2，以加速度大小a做匀减速运动，行驶位移s后速度减为零，即末速度vt=0。

所以，要使两车不相撞，a应满足的条件是

五、熟悉八类题型

1.匀减速追匀速。如图3所示，开始时，追赶物体与被追赶物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：

图3

(1)若两个物体的位移差等于两个物体追赶前的距离，即Δx=x0，则追赶物体恰能追上被追赶物体，且两个物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；

(2)若两个物体的位移差小于两个物体追赶前的距离，即Δx

(3)若两个物体的位移差大于两个物体追赶前的距离，即Δx>x0，则它们可以相遇两次，设t1时刻有Δx1=x0，追赶物体第一次追上被追赶物体；接着，追赶物体超越被追赶物体运动到前方，但随着做匀减速运动物体的速度越来越小，在t2时刻做匀速运动的物体又追上做匀减速运动的物体，即有Δx2=x0，被追赶物体追上追赶物体，实现第二次相遇。

【例5】女孩正以3.5 m/s的速度在平直道路上跑步，突然发现正前方8 m处有一妇女牵着一只凶狠的大灰狗以1.0 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，为了避免与大灰狗相遇，女孩立即做加速度大小为1.0 m/s2的匀减速运动，问女孩能遇上大灰狗吗？

【分析】设当女孩的速度减小到1.0 m/s时所经历的时间为t，由速度公式得v=v0+at

在t=2.5 s内大灰狗通过的位移为

x2=vt=1.0×2.5 m=2.5 m

由于x1

2.匀速追匀加速。如图4所示。设做匀速运动的追赶物体的初速度为v1，做匀加速运动的被追赶物体的初速度为v2。当两物体速度相等时，即t=t0时刻：

图4

(1)若两个物体的位移差等于两个物体追赶前的距离，即Δx=x0，则追赶物体恰能追上被追赶物体，且两个物体只能相遇一次；

(2)若两个物体的位移差小于两个物体追赶前的距离，即Δx

(3)若两个物体的位移差大于两个物体追赶前的距离，即Δx>x0，则它们可以相遇两次，设t1时刻有Δx1=x0，追赶物体第一次追上被追赶物体；接着，追赶物体超越被追赶物体运动到前方，但随着做加速运动的被追赶物体速度越来越大，在t2时刻两者位移差再次满足Δx2=x0，即被追赶物体追上追赶物体，实现第二次相遇。

【例6】猎狗能以最大速度v1=10 m/s持续地奔跑，野兔只能以最大速度v2=8 m/s的速度持续奔跑。一只野兔在离洞窟x1=200 m处的草地上玩耍，猎狗发现后以最大速度朝野兔追来。野兔发现猎狗时与猎狗相距x2=60 m，野兔立即跑向洞窟。设猎狗、野兔、洞窟总在同一直线上，则野兔的加速度至少要多大才能保证安全回到洞窟？

【分析】设野兔加速到最大速度v2=8 m/s的时间为t1，由速度公式得v2=at1

设猎狗从被野兔发现时经时间t恰好运动到洞窟处，则有x1+x2=v1t

在时间t内，野兔也恰好回到洞窟处，则有

代入数据解得a=4 m/s2

可见，野兔至少要以a=4 m/s2的加速度运动才能保证安全回到洞窟。

3.匀减速追匀加速。如图5所示，开始时，追赶物体与被追赶物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：

图5

(1)若两个物体的位移差等于两个物体追赶前的距离，即Δx=x0，则追赶物体恰能追上被追赶物体，且两个物体只能相遇一次；

(2)若两个物体的位移差小于两个物体追赶前的距离，即Δx

(3)若两个物体的位移差大于两个物体追赶前的距离，即Δx>x0，则它们可以相遇两次，设t1时刻有Δx1=x0，追赶物体追上被追赶物体；接着，追赶物体超越被追赶物体运动到前方，但随着做匀加速运动物体的速度越来越大，在t2时刻做匀加速运动的物体又追上做匀减速运动的物体，即有Δx2=x0，实现第二次相遇。

【例7】一客车正以v1=18 m/s的速度在一段平直公路上行驶，司机突然发现正前方x0=18 m处蹿出一只黄狗。若黄狗发现客车后立即以a2=3 m/s2的加速度向前运动，则司机立即以多大的加速度做减速运动才能避免相撞？

【分析】设客车的速度与黄狗的速度相等时经历的时间为t，则v1-a1t=a2t

为了避免相撞，则满足以下条件

代入数据联立解得a1≥6 m/s2

4.匀加速追匀速。如图6所示，设做匀加速运动的追赶物体的初速度为v1，做匀速运动的被追赶物体的初速度为v2。当t=t0时刻，两物体速度相等，此时刻前追赶物体未能追上被追赶物体，且距离越来越大；此后，随着追赶物体的速度v1不断增大，两者间的距离不断变小，当满足x1=x2+Δx时，追赶物体追上被追赶物体，且全程只相遇(即追上)一次。

图6

【例8】(2007年全国卷)甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前s0=13.5 m处作了标记，并以v=9 m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L=20 m。求：

(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a；

(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

【分析】(1)设经过时间t，甲追上乙，则根据题意有

将v=9 m/s代入后解得t=3 s

由于v=at，代入数据解得a=3 m/s2

(2)在甲追上乙的时候，乙通过的位移为x

代入数据得到x=13.5 m

则乙离接力区末端的距离为

Δx=20 m-13.5 m=6.5 m

5.匀速追匀减速。如图7所示，开始追赶阶段，追赶物体与被追赶物体间的距离在增大，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，两者间的距离最大。随着被追物体的速度继续减小，两者间的距离开始减小，当满足x1=x2+Δx时追赶物体追上被追赶物体，全程只相遇一次。

图7

【例9】某人骑自行车，以v1=4 m/s的速度做匀速运动，某时刻在他前面x0=7 m处有一辆以v2=10 m/s的速度行驶的汽车开始关闭发动机，以a=2 m/s2的加速度做匀减速运动，问此人多长时间追上汽车

( )

A.6 s B.7 s C.8 s D.9 s

6.匀加速追匀减速。如图8所示，开始时，追赶物体与被追赶物体间的距离在增大，当两物体速度相等时，即t=t0时刻两物体间的距离最大。随着追赶物体的速度越来越大，两者间的距离开始减小，当两个物体的位移差等于两个物体追赶前的距离，即x1=x2+x0，则追赶物体追上被追赶物体，且两个物体只能相遇一次。

图8

【例10】某天，小明在上学途中沿人行道以v1=1 m/s速度向公交车站走去，发现一辆公交车正以v2=15 m/s速度从身旁的平直公路同向驶过，此时他们距车站s=50 m。为了乘上该公交车，他加速向前跑去，最大加速度a1=2.5 m/s，能达到的最大速度vm=6 m/s。假设公交车在行驶到距车站s0=25 m处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间t=10 s，之后公交车启动向前开去。(公交车的长度可不计)。求：

(1)若公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度a2大小是多少？

(2)若小明加速过程视为匀加速运动，通过计算分析他能否乘上该公交车。

【分析】(1)公交车做匀减速运动，由运动学公式得

代入数据解得公交车的加速度为a2=-4.5 m/s2

(2)汽车从与小明相遇处到开始刹车经历时间t1为

汽车刹车过程中经历时间t2为

小明以最大加速度达到最大速度经历时间t3为

小明在加速过程中通过的位移x1为

小明以最大速度跑到车站的时间t4为

显然，t3+t4

7.匀加速追匀加速。如图9所示，开始时，如果追赶物体的速度小于被追赶物体的速度，则两者间的距离不断增大。当两物体速度相等时，即t=t0时刻两个物体间的距离最大。随着追赶物体的速度越来越大，两者间的距离开始减小，当两个物体的位移差等于两个物体追赶前的距离，即x1=x2+x0，则追赶物体追上被追赶物体，且两个物体只能相遇一次。

图9

【例11】羚羊从静止开始奔跑，经过50 m距离能加速到最大速度25 m/s，并能维持一段较长的时间，猎豹从静止开始奔跑，经过60 m的距离能加速到最大速度30 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s，设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊1 s后作出反应，开始逃跑，羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x应在什么范围？

【分析】设猎豹加速时间为t1，由平均速度公式得

羚羊在加速过程中的加速度a2为

羚羊在加速过程中所经历的时间t2为

在猎豹加速运动过程中，羚羊经历1 s的反应时间后，紧接着做t3=3 s的加速运动，则羚羊通过的位移为

所以，猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x应满足的条件是x1≥x2+x

解得x≤31.875 m

8.匀减速追匀减速。如图10所示，开始时，两者间的距离不断减小。在t1时刻，如果能满足追赶物体与被追赶物体间的位移差为x1=x2+x0，则追赶物体追上被追赶物体。当两物体速度相等时，即t=t0时刻两个物体间的距离最小，如果此时追赶物体还没有追上被追赶物体，则以后就再也追不上了。

图10

【例12】甲车以速度v1=14 m/s做匀速运动，甲车司机实然发现前方距离为x0=12 m正以v2=8 m/s做匀速直线运动的乙车，因前面路口的交通信号绿灯已经开始闪烁，于是立即刹车，乙车以a2=2 m/s2的加速度做匀减速运动，此时乙车距离斑马线的距离x=28 m。求甲车必须以多大的加速度做匀减速直线运动才能避免与乙车相撞？

【分析】设当两车速度相等时所经历的时间为t0，则由速度公式得

v1-a1t0=v2-a2t0

若要使两车不相撞，则应满足如下条件