周仲旺

【摘要】 众所周知，平面上点的表示法有直角坐标系法和极坐标系法两种，点的位置可通过直角坐标系中的坐标（x，y）的横纵坐标长度或极坐标系中极坐标（ρ，θ）的极径长度与极角角度表示.建立一种新的坐标系———角坐标系，使平面上点的位置由两个角α，β，即角坐标（α，β）表示.用这种方法表示点，具有较高的实用价值.

【关键词】 角坐标系;角坐标;第二距离

一、引言

自从1637年法国数学家笛卡尔创立了解析几何以后，平面上的点可以用有序实数对（x，y）来表示，平面上的图形可以用方程来表示，研究几何图形的性质可以转化为研究一个相应的代数方程的问题.解析几何的产生可以说是数学发展史上的一次飞跃.它的基本思想是用代数的方法研究几何问题.为了把代数的方法引入到几何中来，这就必须把几何结构代数化.本文通过研究两相交线段及其垂直平分线的性质发现，平面上一个点可以用两个角表示，建立平面上一个点和两个角之间的一一对应关系，由此引入角坐标系，开辟了研究几何图形的一个新途径.注意：极坐标是用长度和角表示点，这种坐标显然不对称，而角坐标对称，因此角坐标应该同直角坐标相媲美而比极坐标好.

二、角坐标系和角坐标

定义1 如图1所示，在平面直线l上取一条线段O′O，对平面内不属于直线l的任意一点A，分别作线段O′O，OA的垂直平分线，其交点为O 1，这样就确定了唯一的两个角α=∠O 1OO′，β=∠O 1OA.反之，对任意给定的两个角α，β，作∠O 1OO′=α，使线段OO 1与线段OO′的垂直平分线交于O 1点，再作∠AOO 1=β，使线段OA的垂直平分线过O 1点，这样就确定了唯一一点A.其中，-π2<α<π2，-π2<β<π2.于是除直线l上的点外，平面上任意一点A和有序数组（α，β）之间建立了一个一一对应关系，这个一一对应关系称为平面上的角坐标系，（α，β）称为点A的角坐标.

以O′O為正方向、以O′O的长度为一个单位、以O为极点建立极坐标系，则平面上点的极坐标（ρ，θ）和角坐标（α，β）满足如下的坐标变换公式.

图1 线段O′O和OA的垂直平分线交于O 1

定理1 设-π2<α<π2，-π2<β<π2，0≤θ≤2π，点A的极坐标（ρ，θ）和角坐标（α，β）间的坐标变换公式为

ρ=cos βcos α，

θ=π-α-β.

从OO 1旋转到OO′，逆时针时α为正，顺时针时α为负.从OA旋转到OO 1，逆时针时β为正，顺时针时β为负.

证 点A的极坐标（ρ，θ）和角坐标（α，β）的表示如图2和图3所示.

图2 x轴是极轴0≤α<π[]2

图3 x轴是极轴-π2<α≤0

显然θ=π-α-β，OO 1cos α=12，OO 1cos β=12ρ，所以ρ=cos βcos α，定理证毕.

这里需要针对直线l上的点的角坐标做一下特别说明：O′的角坐标是（0，0），O的角坐标是α，±π2，其中α可取满足-π2≤α≤π2的任意值，其他点的角坐标都是 ±π2，±π2.

O可视为直角坐标系、极坐标系和角坐标系三坐标系的共同的坐标原点，直线l是x轴或极轴，过O点垂直于l的直线是y轴，这样平面上任意一点可分别通过直角坐标、极坐标和角坐标表示.

根据定理1中的坐标变换公式，平面曲线的直角坐标方程、极坐标方程可以化成角坐标方程，反之，角坐标方程也可以化成直角坐标方程、极坐标方程.在直角坐标系、极坐标系下有些方程很复杂、作图也很难的曲线，在角坐标系下反而方程很简单、作图也很简单.

例如，考虑在角坐标系中，由非常简单的角坐标方程α=7β表示的曲线，根据ρ=cos  βcos α，θ=π-α-β，x=ρcos θ，y=ρsin θ，我们有ρcos α=cos β，ρcos（π-β-θ）=cos β，-ρcos（β+θ）=cos β，ρsin βsin θ-ρcos βcos θ=cos β，

ρsin θtan β-ρcos θ=1，tan β=1+ρcos θρsin θ=1+xy，tan θ=yx，θ+8β=π，tan （θ+8β）=0，再根据三角函数公式和matlab，最后得到该曲线的直角坐标方程为：

-7x8-48x7+28x6y2-140x6+112x5y2-224x5+14x4y4+140x4y2-210x4+112x3y4-112x3-20x2y6+252x2y4-140x2y2-28x2-48xy6+224xy4-112xy2+y8-28y6+70y4-28y2+1=0，显然这个方程很复杂.

使用坐标变换公式x=ρcos θ，y=ρsin θ，可把上面的方程转化成极坐标方程，其极坐标方程也很复杂.此曲线在直角坐标系、极坐标系中，用直尺、圆规、量角器作出图像非常困难，但在角坐标系中，用直尺、圆规、量角器作出图像非常容易，它就像条顶点在O′、开口向右的抛物线.计算得知，它与y轴的两个交点的直角坐标的近似值是（0，±5.027），角坐标的精确值是716π，116π和-716π，-116π，顶点O′的直角坐标是（-1，0），角坐标是（0，0），这条抛物线关于x轴对称.

再如，角坐标方程α=15β，α2+β2=π29，α2=β等表示的曲线，在直角坐标系、极坐标系中，用直尺、圆规、量角器作出图像不大可能，但在角坐标系中，用直尺、圆规、量角器作出图像并不难.α=2β，α=3β等方程表示的曲线，在直角坐标系、极坐标系中作出图像比较麻烦，在角坐标系中作出图像就很容易.这些例子充分说明角坐标系具有重要意义.下面讨论直线和圆.

2.1 直线的角坐标方程

设直线的直角坐标方程为Ax+By+C=0（B≠0，B=0时可同样讨论），将x=ρcos θ=cos βcos αcos（π-α-β），y=ρsin θ=cos βcos αsin（π-α-β）

代入直线的直角坐标方程，整理得

A2+B2-AA2+B2cos（α+2β）+BA2+B2sin（α+2β）+（2C-A）2+B22C-A（2C-A）2+B2cosα+B（2C-A）2+B2sinα=0， （1）

令sinα 0=-AA2+B2，

cosα 0=BA2+B2，

sinβ 0=2C-A（2C-A）2+B2，

cosβ 0=B（2C-A）2+B2，

则A2+B2（2C-A）2+B2=cos β 0cos α 0.

把上式代入（1）式，整理得

cosα 0sin（α+β 0）+cosβ 0sin（α+2β+α 0）=0，其中，cosα 0cosβ 0>0. （2）

（2）式就是直线的角坐标方程，把β看成α的函数，该方程就比较简单，不难证明可以设-π2≤α 0≤π2，-π2≤β 0≤π2.下面讨论两种特殊情况：

（a） 当C=0时，sinα 0=sinβ 0，cosα 0=cosβ 0.（2）式化为

α 0=β 0，sinα+β+α 0+β 02cosβ+α 0-β 02=0，

于是，β=±π2或者α+β=k，k是常数.

即过原点O的直线的角坐标方程是α+β=k，而β=±π2就是原点O.

（b）当C≠0，cosα 0=cosβ 0时，

（2）式化为sinα+β+α 0+β 02cosβ+α 0-β 02=0，因为C≠0，根据情形（a），

cosβ+α 0-β 02=0.

所以β=γ 0=常数，把它化为直角坐标方程是

y=cot γ 0x+cot γ 0，这是过O′的直线.反过来，过O′的直线的直角坐标方程是y=bx+b，它化为角坐标方程是β=常数.所以β=常数是过O′的直线的角坐标方程，它比这类直线的直角坐标方程和极坐标方程都简单.

2.2 圆的角坐标方程

圆的直角坐标方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（b≠0，b=0时可同样讨论），

记c=a2+b2-r2，同2.1节一样，化简得：

a+c+1+a2+b2sin（2α+2β+α 0）+（a+1）2+b2sin（2β+β 0）+（a+c）2+b2sin（2α+γ 0）=0，

其中

sin α 0=aa2+b2，

cos α 0=-ba2+b2，

sin β 0=a+1（a+1）2+b2，

cos β 0=-b（a+1）2+b2

sin γ 0=a+c（a+c）2+b2，

cos γ 0=-b（a+c）2+b2.

令t=a2+b2，则a=tsin α 0.

a+c=tcos α 0tan γ 0，a+1=tcos α 0tan β 0，（a+1）2+b2=tcos α 0cos β 0，（a+c）2+b2=tcos α 0cos γ 0代入上式整理得：

cos α 0cos β 0sin（2α+γ 0）+cos α 0cos γ 0sin（2β+β 0）+cos β 0cos γ 0sin（2α+2β+α 0）-sin α 0cos β 0cos γ 0+sin β 0cos α 0cos γ 0+sin γ 0cos α 0cos β 0=0， （3）

这就是圆的角坐标方程.当圆过原点O时，c=0，sin α 0=sin γ 0，cos α 0=cos γ 0，化简方程（3），得到过原点O的圆的角坐标方程为

cos α 0sin（β+β 0）+cos β 0sin（2α+β+α 0）=0， （4）

其中cos α 0cos β 0>0，把α看成β的函数，该方程就比较简单，不难证明可以设-π2≤α 0≤π2，-π2≤β 0≤π2.

若圆（4）再过O′，则α 0=β 0，可推出α=常数，即过O，O′的圆的角坐标方程是α=常数，它比这类圆的直角坐标方程和极坐标方程都简单.

把过原点的圆的角坐标方程（4）中的角坐标α，β交换一下即得直线的角坐标方程（2），把原点的角坐标α，±π2中的α，±π2交换一下即得无穷远点的角坐标，这就证明了直线是过无穷远点的圆，该结论在直角坐标系和极坐标系中很难证明.一个圆由圆周和圆心两部分组成，所以平面上两个圆的相关位置有四种：相离（没有交点）、平行（只有一个交点，两个圆相切现在称其平行，两个同心圆也称为平行，因为它们只有一个交点即圆心）、相交（有两个交点）和重合（三个交点）.一个圆和一条直线的相关位置有三种：相离（没有交点），平行（一个交点，圆和直线相切现在称其平行），相交（两个交点）.两条直线平行可以看成两个圆平行（同心圓），两条直线相交也可以看成两个圆平行（一个交点），两条直线重合可以看成两个圆重合，这样两条直线的相关位置有两种.

定理2 如果平面上两个圆C 1，C 2的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2且r 1≤r 2，O 1，O 2两点间的距离为d，则这两个圆：

（1）相离的充要条件是d>r 1+r 2或0

（2）平行的充要条件是d=0或d=r 1+r 2或d=r 2-r 1.

（3）相交的充要条件是r 2-r 1

（4）重合的充要条件是d=0且r 1=r 2.

圆和直线的相关位置通过比较圆心到直线的距离和这个圆的半径之间的大小不难得出.

当两个圆相切或相交时，它们在公共点处的两条切线成的角称为这两个圆的夹角，这显然是两条直线夹角定义的自然推广.当两个圆的夹角是直角时，称这两个圆互相垂直.

23 平面上两点间的第二距离

在角坐标系下，直线和过原点的圆，坐标原点和无穷远点，从代数上看是一样的，从几何上看是相应的两极，因此我们可以把平面上任意两点间的距离进行推广，即平面上任意两点间有两个距离，一是这两点和无穷远点决定的圆上的弧长即这两点间的线段的长，二是这两点和坐标原点决定的圆上的这两点间不经过原点的那段弧的长，两点间的距离应该用圆的弧长定义，而不应该用线段的长定义，因为线段的长是圆的弧长的特殊情况，两点决定一条直线，应该改为两点决定两个圆，一个圆是这两点和无穷远点决定的圆，另一个圆是这两点和坐标原点决定的圆，应把这两个圆放在一起研究，而不应像欧氏几何那样，把它们割裂开来.研究平面上任意两点间的第二距离即过原点的圆上的一段弧长有其一定意义，例如，研究平面上到一定点的第二距离等于定长的点的轨迹，这将是一条新曲线.研究第一距离即通常的欧氏距离，比较简单，但研究第二距离非常复杂.

【参考文献】

[1]吕林根，许子道.解析几何[M].第4版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]吕林根，张紫霞.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1987.