熊贤文

【摘要】本文研究了北师大版数学选修4—5第26页第10题，2017年高考全国Ⅱ卷不等式选讲的第二问，后者题目条件相对前者有了改变，证明方法也发生了一些变化，证法多样.本文研讨了综合法等四大类共12种方法，给出了不同的解答.对于有些典例，教师可以将题目改变，用多种方法证明，培养学生灵活的思维能力.

【关键词】不等式证明;解法研究;试题变式

一、问题研究

笔者在讲北师大版数学选修4—5不等式选讲证明方法——反证法一节时给学生布置课后作业第26页第10题“用反证法证明：已知x，y∈R，x3+y3=2，则x+y≤2. ”

作业反馈时笔者发现大部分学生用的是反证法.证明如下：

假设x+y>2 ，则x3+y3+3x2y+3xy2>8，

∵x3+y3=2，∴xy（x+y）>2，

∵2=x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）≥xy（x+y），

∴假设不成立，∴x+y≤2.

笔者也发现有些学生用其他方法证明，但证明时书写格式不规范，有的说理错误.为此笔者对此题做了较深入的研究，并与2017年全国Ⅱ卷二选一中的不等式选讲的题目做了比较，发现高考题只将条件改为正实数.笔者研究发现.条件加强后，证明的方法更多.本文采用四大类共12种不同方法给出高考题的证明，并将其与条件为x，y∈R的题的证明方法进行比较，使学生在做题时能更准确，不会因没有注意题目条件的限制导致证明错误.同时教师带领学生对试题变化而解法不变的情况进行探究，帮助学生在变化中找到不变，形成以不变应万变的能力.

下面先研究一题多解，从多解中找到知识的内在联系，把知识形成知识网、知识树.

2017年高考题目如下：

已知a>0，b>0，a3+b3=2， 证明：a+b≤2.

（一）综合法证明

方法1：

∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

=（a+b）[（a+b）2-3ab]，

ab≤（a+b）24，

∴2≥（a+b）（a+b）2-34（a+b）2

=14（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，即證a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用，此法证明的思路是先利用因式分解将a3+b3转化为（a+b）3-3（a+b）ab，再利用重要不等式 ab≤a+b22转化，这个不等式对a，b∈R成立，所以证明方法对a，b∈R也适用.

方法2：

∵2=a3+b3

=（a+b）（a2-ab+b2）

a2+b22≥a+b2，ab≤（a+b）24

≥（a+b）（a+b）22-（a+b）24

=14（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，

即证a+b≤2.

此证法对a，b∈R也适用.此法证明的思路是利用已知的两个不等式.

方法3：

∵4（a3+b3）-（a+b）3=3a3+3b3-3a2b-3ab2

=3（a-b）2（a+b）≥0，

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用.此法证明的思路是作差，因式分解，由题知a+b>0.

方法4：

（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2

=2+3ab（a+b）

≤2+34（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用.

方法5：

∵（a+b）3=a3+b3+3（a2b+ab2），

由排序不等式可得

a3+b3+3（a2b+ab2）≤4（a3+b3），

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用.

方法6：由排序不等式得：

a2b+ab2≤a3+b3，

∴（a+b）3=a3+b3+3（a2b+ab2）≤4（a3+b3） ，

∴（a+b）3≤8，即得a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用.证明方法5和6运用排序不等式进行放缩，排序不等式对任意实数成立.

（二）分析法证明

方法7：欲证a+b≤2，需证（a+b）3≤8，

即证a3+b3+3a2b+3ab2≤8，

即证a2b+ab2≤2，

即证ab（a+b）≤2，

∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2） ，a2+b2≥2ab，

∴ab（a+b）≤2，∴结论成立.

此证法对a，b∈R适用.

方法8： 若a+b≤2，则a≤2-b.

∴2=a3+b3≤（2-b）3+b3=6b2-12b+8，

∴6b2-12b+6≥0 恒成立，显然，该式恒成立，所以结论成立.

此证法对a，b∈R也适用.

分析法是从结论出发寻找结论成立的充分条件.难点在于如何找到条件.

（三）反证法证明

方法9：假设a+b>2 ，则a3+b3+3a2b+3ab2>8，

∵a3+b3=2，∴ab（a+b）>2，

∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b），

∴假设不成立，∴a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用.

（四）构造法证明

方法10： 令a+b=t，则b=t-a，

∵2=a3+b3=a3+（t-a）3

=t3-3at2+3a2t，

∴3a2t-3at2+t3-2=0，显然方程有实根，

∴Δ=9t4-12t（t3-2）≥-3t4+24t≥0，

∴t3≤8，

即t≤2 ，∴a+b≤2.

此证法对a，b∈R适用.此法运用构造方程的思想，考虑关于变量a的方程有实根的条件，由判别式得到关于a+b的不等式，解此不等式即可.

方法11：令f（x）=x3-3x+2，f′（x）=3x2-3=0， 得两根x 1=-1，x 2=1 ，所以f（x） 在（-∞，-1），（1，+∞） 上单调递增，在（-1，1） 上单调递减.当x>0 时，f（x） min=f（1）=0，所以x>0时，f（x）≥0，即x3-3x+2≥0，

所以，a3-3a+2≥0， ①

b3-3b+2≥0 ②

①+②，得a3+b3+4≥3（a+b），

∴a+b≤2.

此证法对a，b∈R不适用.

方法12： 构造函数f（x）=x3，x>0，

∵f′（x）=3x2，f″（x）=6x ，当x>0 时，f″（x）>0，

∴f（x） 在（0，+∞） 上下凹.

∴对于a，b∈（0，+∞） ，a3+b32≥a+b23 ，

又∵a3+b3=2，∴（a+b）3≤8，即a+b≤2.

此证法对a，b∈R不适用.

方法11和12都是构造三次函数，利用函数x>0  时的最小值和凹凸性证明，这对学生知识的综合能力要求很高，由于定义域有范围限制，因此对a，b∈R不适用.

我们通过对本题的研究可以发现，改变题设中一个小的条件，证明的方法不尽相同.在教学中教师要引导学生重视题设条件，做好解题反思.有时教师也可以将题目变为不同形式，引导学生用相同的方法解决，使学生巩固解题思路.

我们下面研究变题而不变解法的例子.

已知x>0，y>0，且x+y=1，求u=1x+2y的最小值.

这类题的解法很多，但最简单的方法是“1”的代换.

u=1x+2y=1x+2y·1=1x+2y·（x+y）

=1+2+yx+2xy≥3+22，

当且仅当x=2-1，y=2-2时取等号.

变式1 已知x>0，y>0，且2x+y=1，求u=1x+1+2y+3的最小值.

将条件2x+y=1变为2（x+1）+（y+3）=6，即13（x+1）+16（y+3）=1，用“1”的代换就可求最值.

变式2 已知x>0，y>0，且x+y=1，求u=1x+3y+22x+y的最小值.

令a=x+3y，b=2x+y，则x=-a5+3b5，y=2a5-b5，

1=x+y=a5+2b5，利用“1”的代换可求最值.

变式3 已知x>0，y>0，且3x+2y=3，求u=1x+x2y的最小值.

由3x+2y=3得3x+2y3=1，将“1”代入u=1x+x2y即可.

变式4 已知x>0，y>0，且1x+1+2y+3=1，求u=2x+y的最小值.

令a=x+1，b=y+3，则x=a-1，y=b-3.

u=2（a-1）+b-3=2a+b-5=（2a+b）·1a+2b-5，用均值不等式即可得解.

试题的变式涉及换元、整体代换、化归与转化等数学思想，教师教学时要鼓励学生多研究，自己改编一些同类题型，对于同一类题目在不同背景下的表述和特征，抓問题的本质，优化解题方法.这样学生在再次遇到这类题目时就能很快找到解决的办法.

二、教学思考

1.教师层面

一题多解体现了数学解题的灵活性和多样性，有助于培养学生的发散思维能力.学生在实际的教学过程中进行训练，能够真正培养其数学学习能力，促进其数学学习.同时，教师在教学中更应该注意，将题设的条件适当改变，然后引导学生探究证明方法是否也发生变化，这样可以提升学生的变式能力，培养学生的思维严密性.

教师在教学中自己要多研究、多思考，发现典型例题时可将其融入平时的教学过程中，给学生起引领的作用，在作业和练考中发现学生的不同想法，归类整理提升形成方法，引导学生用所学的知识解决问题，在此过程中既帮助学生巩固了基础知识，又可帮学生完善知识结构，同时渗透数学思想方法，使学生在研究过程中领悟基础知识的重要性，养成良好的思维品质.

2.学生层面

学生在学习的过程中，应重视解题反思，通过对解题过程的再思考，再发现，形成良好的解题习惯，发现解题过程不完备时，及时纠正.学生在学习过程中可以利用写小论文的方式进行一题多解，一题多变的训练，使自己在多解中巩固所学，在多变中形成思维.

总之，学生学习、教师教学没有定法，但养成研究的习惯对于数学学习很关键，学生可以在自己已有知识的基础上通过对题目的引申、变化、发散，揭示问题的本质，提升解题思维能力.