熊贤文

【摘要】本文研究了北师大版数学选修4—5第26页第10题，2017年高考全国Ⅱ卷不等式选讲的第二问，后者题目条件相对前者有了改变，证明方法也发生了一些变化，证法多样.本文研讨了综合法等四大类共12种方法，给出了不同的解答.对于有些典例，教师可以将题目改变，用多种方法证明，培养学生灵活的思维能力.

【关键词】不等式证明;解法研究;试题变式

一、问题研究

笔者在讲北师大版数学选修4—5不等式选讲证明方法——反证法一节时给学生布置课后作业第26页第10题“用反证法证明：已知x，y∈R，x3+y3=2，则x+y≤2. ”

作业反馈时笔者发现大部分学生用的是反证法.证明如下：

假设x+y>2 ，则x3+y3+3x2y+3xy2>8，

∵x3+y3=2，∴xy（x+y）>2，

∵2=x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）≥xy（x+y），

∴假设不成立，∴x+y≤2.

笔者也发现有些学生用其他方法证明，但证明时书写格式不规范，有的说理错误.为此笔者对此题做了较深入的研究，并与2017年全国Ⅱ卷二选一中的不等式选讲的题目做了比较，发现高考题只将条件改为正实数.笔者研究发现.条件加强后，证明的方法更多.本文采用四大类共12种不同方法给出高考题的证明，并将其与条件为x，y∈R的题的证明方法进行比较，使学生在做题时能更准确，不会因没有注意题目条件的限制导致证明错误.同时教师带领学生对试题变化而解法不变的情况进行探究，帮助学生在变化中找到不变，形成以不变应万变的能力.

下面先研究一题多解，从多解中找到知识的内在联系，把知识形成知识网、知识树.

2017年高考题目如下：

已知a>0，b>0，a3+b3=2， 证明：a+b≤2.

（一）综合法证明

方法1：

∵2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

=（a+b）[（a+b）2-3ab]，

ab≤（a+b）24，

∴2≥（a+b）（a+b）2-34（a+b）2

=14（a+b）3，

∴（a+b）3≤8，即證a+b≤……