徐宏臻

有人说，数学教学有三重境界，一教知识，二教方法，三教思想。其中，数学思想被认为是数学的灵魂。实践表明，学生领会某种数学思想，需要在积极参与教学活动的过程中，逐步地、多次地、深入地体会，以及反复地应用，才能真正领悟。可以说，反复体会是感悟数学思想的必由之路和关键之策。现以苏教版数学四年级上册“列表的策略”教学为例（如图1），谈谈如何让学生通过多次体会逐步感悟数学思想的实践与思考。

就“解决问题的策略”教学而言，首先，教师要有一双“慧眼”，看到所教策略中蕴含的数学思想;其次，教师要精心设计教学活动，呈现策略形成的过程，特别是要通过回顾、反思、比较、交流，让策略中蕴含的数学思想凸显出来;再次，教师要通过运用和拓展，丰富感知，增强体会。那么，列表的策略中蕴含的数学思想是什么？笔者认为，是分类和对应的思想。

从上面的例题中可以看到，其实例题已经把3种树的相关信息，按树名、每种树栽的行数和每行栽的棵数分别进行了整理，并按同样的顺序一一呈现，整齐划一。笔者认为，教材已经把需要学生整理的许多环节代替包办了，这不利于学生自主地产生整理信息的强烈需求，不利于学生经历列表整理信息的全过程，学生不但难以体会到列表整理的好处，也难以体会到其蕴含的数学思想。为此，笔者在教学时进行了教学改进。

一、在形成过程中逐步体会

在教学中，笔者不直接出示例题，而是把课前已经制作好的3种果树的树名、每种树栽的行数和每行栽的棵数以及要求的问题，共7块板贴，随意地贴在黑板上。笔者让学生看题后直接解答“桃树和梨树一共有多少棵？”，随后分别一一展示列式和得数。学生惊讶地发现，列式和得数各不相同，他们个个睁大了眼睛，不禁迷惑起来：同一个问题，怎么有这么多的列式和结果？这时，笔者顺势让学生说说看板贴的感想。学生一致认为，信息太多太乱了，没有顺序和条理，叫人看得眼花缭乱，需要好好整理一下。于是，笔者引导学生，那你们认为怎样整理才算有条理呢？学生认为，应该把桃树的相关信息、杏树的相关信息、梨树的相关信息各自集中地放在一起。

笔者肯定了学生想法，让学生上台自主移动板贴进行整理，结果学生归类整理为：“小芳家栽了3行桃树，桃树每行7棵，杏树每行6棵，8行杏树，4行梨树，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？”笔者问：“现在已经归类整理了，你觉得怎样？”学生说：“比过去清楚多了，但还是有点乱，因为桃树是先出现行数，再出现每行的棵数，而杏树是先出现每行的棵数，再出现行数，梨树又是先出现行数，再出现每行的棵数，出场的顺序不一致。笔者再问：“那你认为怎么调整才顺序一致，更有条理、更清楚呢？”学生认为，要统一出场顺序：要么先出现每种树的行数，再出现每行的棵数;要么先出现每种树每行的棵数，再出现行数。可见，学生头脑中已经萌发了有序和对应的思想。

于是，笔者再次让学生上台移动板贴，学生整理为：“小芳家栽了3行桃树，桃树每行7棵，8行杏树，杏树每行6棵，4行梨树，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？”但有学生反对说：“问题是求桃树和梨树一共有多少棵，与杏树无关，应该把有关杏树的信息直接去掉。”学生已经初步学会根据所求的问题去寻找并整理相关信息，会用分析法思考问题了。学生最后整理为：“小芳家栽了3行桃树，桃树每行7棵，4行梨树，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？”

这时，笔者再问学生：“现在有什么感受？”学生一致认为，现在有条理多了，简洁多了，清楚多了。但有的学生还反对说：“题目的文字还是多了，还是有点不简洁，不能让人一目了然，还可以进一步简化。”随后，笔者放手讓学生进行自主简化，结果如下。

（1）文字整理为：

桃树：3行，每行7棵。

梨树：4行，每行5棵。

（2）表格整理为表1和表2（如图2）：

至此，笔者让学生体会用表格整理条件的好处。学生一致认为，用表格收集和整理信息更简洁、更有条理、更清楚，也更便于找到数量关系，有利于解决问题，可以直接看表分别求出桃树和梨树的棵数，且不容易混淆和出错。

教学本例题时，笔者故意杂乱无章地呈现题中的信息，激发了学生整理信息的需要，通过引导学生自主整理、简化信息，使学生充分经历了列表整理信息的全过程，从无序到有序，从不对应到对应，从文字到列表，从而让分类和对应等数学思想一步步凸显出来，愈加清晰地、鲜明地呈现在学生眼前。这样改造，既一波三折，又一气呵成，直达策略的本质——数学思想。学生从中不但很容易学到整理信息的过程和方法，而且他们对表格的结构和含义会了然于心，还很容易体会和感悟到其中所蕴含的数学思想。

二、在反复比较中突出思想

1.在比较中体会

为了进一步凸显列表的作用，笔者及时引导学生看表说明表的意义。学生一致认为，列表更简单、更清楚，快速地找到数量关系，快捷地解决问题。笔者问：“你认为在列表时要注意什么？”学生认为，要把同类的集中归在一起，并且出现的顺序也要一致，这样才更清楚、更顺畅。通过回顾、反思、比较、提炼和交流，策略中蕴含的数学思想——分类和对应等逐步开始凸显出来。学生在以后整理信息时，也会自觉地先分类，讲究排列顺序，注意一一对应，从而提升自主整理信息、快速解决问题的能力。

2.在解题中体会

列出表后，笔者让学生各自独立解答问题。学生或用综合法，或用分析法，都顺利地列出了算式。有的学生分步列式计算，并说对了理由：先分别算出桃树和梨树各有多少棵，再把两者相加。还有的学生列出了综合算式：7×3+5×4，虽然他们还未学过4个数的混合运算，但根据题中的数量关系，他们认为应分别先算出式中两个积，再把两积相加。笔者问：“在解决这个问题时，你是选择了看文字，还是选择了看表格？”学生说是看表格，因为这样简单、方便和快捷。笔者说：“也要注意对照文字，因为表格是根据文字整理出来的。”学生在解决问题的过程中，真切地体会到分类和对应给解决问题带来的便利，开始喜欢这一策略了。这时，笔者再让学生回看课始他们的各种列式和得数。他们说：“不列表整理，还真容易张冠李戴。”这样，就进一步增强了学生的策略体验，促使学生更自觉地运用列表策略去整理信息和解决问题。

3.在检验中体会

检验是解决问题的一个重要步骤，也是必不可少的一个教学环节。它可以培养学生良好的解题习惯和学习品质。笔者引导学生依据表格进行检验，即把表中的某个条件改为问题，把原来所求的问题改为条件，看能否由此及彼，相互推算出来。学生依据表格探索出4种不同的检验方法，充分感悟到运用表格进行检验的简单和快捷，而表格中的分类和对应等数学思想则不断被学生领悟到，学生更加喜欢这一策略了。

三、在拓展延伸中深化认识

数学思想具有强大的生命力和发展力，是数学知识的内核。学生一旦掌握它，就能轻松地解决很多相关的问题，且能触类旁通。为了进一步凸显分类和对应这些数学思想，感受数学思想的魅力，笔者还有意识地进行拓展延伸，引导学生回顾已学过的统计图表，如“统计表与条形统计图”中的例1（如图3），体会图表中所蕴含的数学思想。先看统计表，分别说说每行和每列的含义，感悟其中的分类和对应数学思想;再看统计图，分别说说横轴和纵轴的含义，以及每个直条所表示的含义，从而让学生直观形象地体会分类和对应的数学思想。通过拓展延伸，帮助学生自觉增强运用数学思想的意识，让数学思想逐步内化于心。

（作者单位：江苏省高邮实验小学）