陈志豪，邓大文

(湘潭大学数学与计算科学学院， 湖南 湘潭 411105)

0 引言

本文中的角对称区域是指对应于极坐标中长方形区域的二维区域，包括全平面(r,θ)∈[0,∞)×[0,2π]，半平面[0,∞)×[0,π]，圆块0≤rR0等等. 本研究考虑两个二维理想流体方程组在角对称区域Ω上的稳态解，它们通常都是在直角坐标中给出. 第一个是二维不可压Euler方程组[1]

(1)

(2)

其中ur和uθ是速度场的径向和切向分量:u(r,θ,t)=ur(r,θ,t)er+uθ(r,θ,t)eθ，er=(cosθ,sinθ)，eθ=(-sinθ,cosθ)，ur，uθ，ω，ψ都是关于r,θ,t的标量函数.

又考虑半平面或平面上的无粘性无热传导性Boussinesq方程组[1]

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(4)

其中,ω，ρ，ψ是关于r，θ，t的标量函数.

显式解一直是偏微分方程领域中的重要问题. 对不可压理想流体，经典工作都集中在二维和三维Euler方程的显式解，一些经典的结论和方法可参考Majda-Bertozzi[1]的专著. Shvydkoy[2]和Sun[3]等研究关于三维稳态齐次解与轴对称解的工作. 对Boussinesq方程组，Majda[4]收集了一些经典的显式解. 2014年，Chae-Constantin-Wu[5]在一个二维的锥上，在特殊条件下把Boussinesq方程组去耦为二维Euler方程和一条传输方程，从而得到一些温度梯度有快速增长的解. 文献[6]中利用二维Boussinesq方程和三维Euler方程的相似性找到一些三维Euler方程组的显式解. 文献[7]中推广了文献[5]中去耦的方法，在各种光滑区域上找到类似的解. 由于要满足边界条件，解的存在区域都是不规则的.

另外，显式解或可对解决领域中的开问题提供一些线索. 近年关于不可压理想流体的大问题是它们的全局正则性，即对三维Euler方程和二维，三维Boussinesq方程组，局部光滑解可否在有限时间失去正则性. 2019年，Elgindi[8]，Elgindi-Ghoul-Masmoudi[9]在这个问题上取得了很大的进展. 2014年Luo-Hou[10](也参看文……