高珊，钟秀雨，韩硕

(1.湖北大学计算机与信息工程学院， 湖北 武汉 430062；2.应用数学湖北省重点实验室(湖北大学)， 湖北 武汉 430062； 3.湖北大学数学与统计学学院， 湖北 武汉 430062；4.武汉大学数学与统计学院，湖北 武汉 430072)

0 引言

1993年, Klein和Randic在研究电网络时定义了电网距离和基尔霍夫指数.设G是一个连通图，顶点集为V={u1,u2,…,un}.图G中两点ui与uj的有效电阻称为ui与uj的电阻距离，记为rG(ui,uj).图G的基尔霍夫指数，记为Kf(G)，定义为Kf(G)=∑i

本研究首先给出一些基本概念和记号以及图的基尔霍夫指数的相关运算，接着利用移接变形对图的基尔霍夫指数进行了研究，给出了块数小于4的块图的基尔霍夫指数的上界，并刻画了对应的极图.

1 图的基尔霍夫指数的运算

本节中给出图的基尔霍夫指标的基本概念和性质以及相关运算.这些性质和运算在本文中的主要结论的证明中经常用到.

定义1.1设G是一个连通图，G1，G2是G的两个非连通子图.如果E(G)=E(G1)∪E(G2)，V(G)=V(G1)∪V(G2)，且V(G1)∩V(G2)=x，则记G:=G1xG2，并称x为图G的割点(cut vertex或seperating vertex).

定义1.2设G是一个连通图，如果图G不含分离点，则称G是不可分的(nonseperable)，否则是可分的(seperable).

定义1.3设G是一个图，图G的极大不可分离子图称为G的块(block).

注记如果图G是一个不可分离图，则G本身就是一个块.

定义1.4设G是一个连通图，如果G的每个块都是完全图，则称G是块图.

定义1.5给定一个图G，令B={B:B是G的块}，S={v∈V(G):v是G的割点}，定义一个二部图B(G)，B和S分别是B(G)的二部划分，且对任意的B∈B，v∈S.B与v在B(G)中有边相连当且仅当v∈V(B).

定义1.6设G是一个图，若G的块路图B(G)是一条路，则称G为块路图.特别地，若G为块图，则记G=K[n1,n2,…,ni]是由i个块Kni构成的块路图，其中V(Kna)∩V(Kna+1)≠φ，1≤a≤i-1.当i=2时，G=K[n1,n2](如图1)；……