韦孝东，白占兵

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)

研究如下四阶两点边值问题正解的存在唯一性：

z(4)(t)=f(t,z(t),z′(t),z′′(t)),0

(1)

z(0)=z′(1)=z′′(0)=z′′′(1)=0,

(2)

这里f:[0,1]×R3→R是连续的。

梁是工程建筑的基本构件之一，材料力学和工程物理中常用四阶常微分方程边值问题来描述弹性梁的状态。基于这类问题的普遍性与重要性，四阶两点边值问题受到了广泛的关注，也取得了许多重要研究成果，见文献[1-14]。

1986年，Aftabizadeh[1]首次讨论了如下边值问题：

z(4)(t)=f(t,z(t),z′′(t)),0

(3)

z(0)=z(1)=z′′(0)=z′′(1)=0。

(4)

在边值条件(2)下的其他四阶边值问题也被广泛研究。2009年，姚庆六[7]研究了问题(2)～(5)正解的存在性与多解性：

z(4)(t)=f(t,z(t),z′(t)),0

(5)

通过构造适当的积分方程并利用锥上的不动点定理证明了问题(5)～(2)在满足与n有关的条件下存在n个正解(其中n是自然数)。2012年，文献[8]利用度数理论中的Krasnosel'skii不动点定理、实变函数中的Lebesgue控制收敛定理和Fatou引理证明了两个新的正解存在定理。2011年，路慧芹[9]通过构造一个特殊的锥，利用锥上的不动点定理研究了问题(2)～(5)，得到了方程存在正解的一个充分条件。

由Gupta[10]的经典分析可知，问题(1)～(2)是六种典型的弹性梁方程之一，描述了一类一端简支，另一端滑动夹紧的弹性梁的形变。2013年，郭环[11]研究了问题(1)～(2)解的存在性问题，由Schauder不动点定理和上下解方法得到了正解存在的充要条件。虽然可以通过上下解方法得到问题(1)～(2)的解，但在实际应用中上下解选取的难度比较大。

受以上工作的启发，研究问题(1)～(2)正解的存在唯一性。通过给出问题的Green函数并研究其相关性质，使算子A的定义更加明确。得到的Green函数在文献[7-9]中都有所提及，与上述文献不同的是，通过Laplace变换求Green函数更加直观易懂。……