孟宜成

(淮南师范学院 金融与数学学院，安徽 淮南 232001)

0 引言

作为数学分析研究的主要对象，函数性质一直是数学研究者所重点关注的问题.特殊函数的性质因其具有一定的特殊性，在理解、接受上具有较大难度[1].因此，对于特殊函数性质能够构造出具有相关性质的函数，对这类函数的理解具有很大帮助.随着级数理论的发展，很多学者借助函数项级数来表示更广泛且具有特殊性质的函数类[2-3].还有学者利用处处连续但处处不可导函数的构造，来提高人们对特殊函数性质的认识[4-5].研究者发现尽管收敛函数项级数中的任意一项均可微或连续，但其所表征的和函数也可能是不可微或不连续的[6].因此，本文以上述主流研究成果为基础，利用正、余弦2种三角函数的自相似性，完成了3种特殊高阶函数的构造，同时对其函数性质进行了验证.

1 处处连续而处处不可微函数

自从魏尔施特拉斯成功构造出处处连续而处处不可导的函数，自相似性概念被逐渐引入到三角函数的相关分析中，以此为基础，对魏尔施特拉斯的函数构造方法进行延伸和扩展，即能实现处处连续而处处不可微函数的构造.

定理1根据魏尔施特拉斯函数构造理论，假定存在1个和函数，即

证明因为|bncosanπx|≤bn同时b∈(0，1)，所以w(x)∈Cb(Rl)(函数在Rl上有界且连续)，其连续性是一致的.

对于下式

按照微分中值定理，存在1个θn使下式成立，即

|cosan(x+h)π-cosanzπ|=

|anπhsinanπ(x+θh)|≤anπ|h|.

继而能够推导出

am(x+hm)=amx+amhm=1+am.

在n≥m的情况下，有

anπ(x+hm)=an-mπam(x+hm)=an-mπ(1+am).

由于a为正奇整数，则

cos(anπ(x+hm))=cos(an-mπ(1+am))=

(-1)1- am.

同时

cos(anπx)=cos(an-mπamx)=

(-1)amcos(an-mπβm).

因而……