卫 延， 郑晶晶， 余晶晶， 郭 勇

(北京交通大学 1.全光网与现代通信网教育部重点实验室，2.电子信息工程学院，北京100044)

0 引言

“信号与系统”是电子信息类本科生的专业课程，其教学内涵是研究信号表示和系统描述[1]。傅里叶变换及其性质是课程的核心内容之一，透彻理解傅里叶变换及其性质有利于学生领悟信号表示和频域分析，对于学习拉普拉斯变换和z变换也有帮助[2]。希尔伯特空间和抽象代数[3]的相关数学知识，正是有效的工具，能给本课程的教学带来直观性与深刻性。本文从希尔伯特空间和抽象代数的角度，讨论傅里叶变换的数学内涵以及相关的概念和性质。

1 希尔伯特空间和抽象代数

数域上的线性空间[4]是一个集合，其中的元素满足加法和数乘运算的封闭性，即线性性质。如果线性空间内的任意柯西序列都收敛在该线性空间之内，则称该线性空间是完备的。定义了范数(长度)的完备的线性空间称为巴拿赫空间，定义了内积的巴拿赫空间是希尔伯特空间，希尔伯特中的元素称为向量。

在抽象代数中，群G是带有一种二元运算的非空集合，此二元运算在集合中具有封闭性，满足结合律，且该集合具有单位元，集合中任意元素具有逆元。如果群G中的二元运算还满足交换律，称群G为阿贝尔群。希尔伯特空间显然是一个加法阿贝尔群，加法单位元是零向量。若非空集合R具有两种运算“+”(加)和“·”(乘)，集合R关于“+”构成阿贝尔群，关于“·”构成一个幺半群(群中去掉逆元条件)，且加法与乘法满足左、右分配律，称R为环[5]。……