胡永模，张 海

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆 246133）

实数集有一条重要的性质，即满足柯西准则的序列必收敛，这一性质本质上是实数集的完备性。同样，在“数学分析”课程中，实数集还有另外的完备性基本定理，如闭区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，其相关理论是经典分析学的基础。一般在实数集中叙述序列的收敛性或者满足柯西准则都离不开两个实数在数轴上的距离，所以在一般抽象集合上引进元素间的距离，就得到了距离空间的概念。此时，距离空间也有收敛点列与满足柯西准则的点列概念，当然也就有距离空间的完备性。实数空间是完备距离空间最简单的例子。本文从距离空间的完备性来阐述实数集完备性定理的成立。下面从以下几个方面研究如何理解距离空间的完备性。

1 距离空间完备性的定义

定义1[1-2]设(X,ρ)为任意一个距离空间，{xn}⊂X为任意一个点列，

（1）如果存在x0∈X，满足，则称点列{xn}在X中收敛到x0；

（2）若对任意的ε＞0，存在自然数Nε，当m,n＞Nε时，恒有ρ(xm,xn)＜ε，则称点列{xn}是柯西点列。若X中任一柯西点列都在(X,ρ)中收敛，则称(X,ρ)为完备的距离空间。

注由“泛函分析”课程中赋范线性空间理论可知，任何有限维赋范线性空间一定是完备的距离空间，(ℝ,ρ)就是一个典型的完备的距离空间，其中ρ(x,y)=|x-y|，∀x,y∈ℝ。特别地，有理数全体按照绝对值距离所构成的距离空间不完备，原因是有理数点列的极限e不是有理数。

2 完备距离空间的柯西收敛准则

实数集有条重要性质，即实数列收敛的柯西收敛准则，在“泛函分析”中，一般抽象的距离空间中的收敛点列一定是柯西点列。……