刘祥利

【摘要】高中数学的教学重点是要让学生对需要学习的知识有更加深刻的理解和认识，让学生的个人能力从根本上得到发展.理论知识的教学离不开例题的辅助讲解，这也是学生进行概念学习和基本技能掌握的重要载体.例题会在学生的学习中产生重要的引导作用，教师借助丰富的教学案例可以为学生设计一题多解、多题一解、自主设计题目等不同的例题形式，从而达到提高教学效果的目的.

【关键词】高中数学;例题设计;原则;技巧

一、高中数学例题设计的研究背景及重要意义

在实际的高中数学教学中，例题的解答能够有效地促进课堂教学效率的提升，更能让学生深刻理解知识，掌握基本的解答思路，让学生的解题能力得到提高.将抽象的数学知识以具体的计算步骤运算得出结果的形式，让学生更好地掌握出题人的意图，这对学生数学思维能力的发展有非常重要的作用.而且教师在进行例题设计时，应该充分考虑多方面的影響因素，把课程教学的基本内容与新课程标准的理念结合起来，使例题的设计符合学生现有的知识水平，符合学生解答问题的基本难度要求，一旦忽略了这些问题，学生的学习兴趣会受到影响，而且教学的发展也会与教学的基本目标出现偏差，严重浪费学生课堂的宝贵时间.

二、高中数学例题设计的基本原则

1.目的性

在正式进行例题设计之前，教师一定要明确自己设计这道例题的基本目的，不能为了应付而设计例题，所有题目的选择都应该与实际的教学目标和教学内容紧密结合.对于教师来讲，合理地设计例题可以更好地引导学生进行新知识核心内容的学习，也可以通过例题的解答让学生对曾经学过的知识进行更加仔细的复习巩固，还能不断完善学生的解题思路，让学生能够通过解答这些问题进行更有针对性的学习.

2.循序渐进性

数学的学习本身就是一个循序渐进的过程，所以相关的例题设计也要结合实际的内容选择由简单到复杂的形式.每一位教师在例题设计好之后，都应该把例题的难度进行适当的标注，然后按照循序渐进的原则向学生有梯度地提出问题.所有的问题选择必须全面考虑每一个学生，学生经过长时间的学习的积累会有能力上的不同，班级里会有成绩和能力比较突出的学生，自然也会有中等生和后进生，只有让每一个学生都能在课堂上有所收获，才能够尽可能避免一边倒的现象出现，更加有效地提高课堂的效率.

3.变通性

例题的讲解也是高中数学有效课堂中的重要组成部分，更是各位教师在进行课前准备的过程当中必须完成的重要环节.例题可以有不同的呈现方式，例题的内容也要结合学生实际的情况进行变通，正确的例题设计对学生学习效果的提高有促进作用.在我国数学教学的课堂当中，大部分教师设计的例题会以填空题或简答题的方式呈现，这样一来，学生很难在课堂上找到例题解答的新鲜感，而且教师提出问题之后基本上就是套用公式做题，完全失去了例题设计的初衷，也没有让学生的思维得到有效的发展，无论学生做了多少例题，对知识的理解还是无法加深，所以做题的过程也就完全沦为一种形式.面对这样的情况，教师实际上可以在例题的设计当中融入图表、图画等，通过这种间歇性的转化过程避免学生在解答例题的过程中产生视觉疲劳.而当学生有了一定的知识水平之后，教师更要对原有的例题进行灵活的变动，这是一种举一反三的过程，也是学生思维发展的重要推动力.有些问题可以选择不同的方法解答，如果学生一味地套用公式，反而容易形成思维定式.只有做到真实的融会贯通，在多样性、变通性比较强的例题练习中让学生加强对数学知识和概念的理解，才能让学生打下更加坚实的数学基础，开阔学生的数学视野.

三、高中数学例题的有效设计形式

1.一题多解

一题多解的题目设计需要从不同的角度按照不同的思路和不同的方法进行，让学生对问题进行思考后，可以给出题目的正确答案.这种例题的设计能够让学生的学习积极性得到调动，也能让学生的创新思维得到发展，还可以积累更多的解题经验，在课堂上通过探究实现个人能力的发展.下面举一个一题多解的题目设计的例子.

例1 当x，y满足条件x>0，y>0，且x+y+xy=2时，x+y的最小值为.

方法1 可以把x+y看成一个变量，所以题目的条件就可以去掉xy项.

解 因为x>0，y>0，则xy≤x+y22，

即2=x+y+xy≤x+y+x+y22，

解得x+y≥23-2.

当且仅当x=y=3-1时，x+y取得最小值23-2.

方法2 使用构建方程的方法处理问题.

解 令t=x+y>0，所以y=t-x.

将条件代入，可得x2-tx+2-t=0，

由Δ=t2-4（2-t）≥0，

解得t≥23-2或t≤-23-2（舍去），

因此x+y≥23-2.

方法3 将条件等式进行因式分解的处理，由于积为定值，所以和有最小值.

解 由x+y+xy=2，可得x+1y+1=3，

所以x+1+y+1≥23，

故x+y≥23-2.

2.多题一解

在数学的习题中有很多题目都可以用同样的方法来求解，这也是让学生在完成很多相同知识点的练习之后对题目的解答方式以及相关的知识点进行提炼、归纳的过程，使学生能够更好地发现知识点的本质，从而让学生的学习能力得到提升.多题一解的例题设计如下所示.

例2 （1）对实验室中现有的8个座椅进行摆放，8个座椅上有3个人要就座，要求这3个人每个人的左右均有空位，那么一共有多少种不同的就座方法呢？

（2）在拍照时需要让4个男生和6个女生排成一排，唯一的要求就是4个男生互不相邻，那么一共有多少种不同的排队方法？

（3）在会议室的前面一共有15盏灯，这15盏灯排成一排，为了节约用电，老师要求关掉其中的6盏灯，而且相邻的灯不能全部关掉，两端的灯也不能关掉，那么有多少种不同的关灯方案呢？

（4）毕业季到来，班级内一共有14名同学要拍一张毕业合影，前排站了5个人，后排站了9个人，摄影师发现后排的9个人不能完全进入镜头的视野，便要求后排出来2个人站到前排当中，其他人的顺序不变，不同的調整方案有多少种？

针对以上的四个问题，虽然问题内容的呈现各不相同，但是在实际解决问题的时候采取的方法是一样的，那就是学生在学习有顺序的排列组合时经常会使用的插空法.这就充分说明了学生解决问题以及教师带领学生进行例题练习时，一定要掌握问题以及知识点的核心，只有真正掌握了某一种数学思想才是把握住了学习的本质，才能更加高效地解决问题.

3.自主设计

为了让例题的设计能够凸显出更强的针对性，我们在实际带领学生进行例题练习的时候，也可以选择自己设计的题目.设计题目需要教师提前做好准备，还要对教材中的内容有扎实的把握，其实这个过程对于教师来讲也是在复习.通过精心设计，教师也能选择更有针对性、更符合学生发展情况的习题让学生练习，让学生的个人能力有更好的提升，也让学生通过例题练习，打下更加扎实的知识基础.自主设计的例题可如下所示.

例3 在带领学生对导数的公式及其运算法则的相关知识进行复习时，我把全班学生分成了3个小组，每个小组给出了两道求解函数导数的例题：

（1）y=x3+log2x;

（2）y=x2-13x;

（3）y=2x·sin（3x+2）;

（4）y=2x3+5;

（5）y=x2ex;

（6）y=ln 2xcos x.

以上6个题目都是教师和学生共同完成的，这6个题目都是复杂函数的求导问题，学生也可以通过自己的思考设计例题，这能给数学课堂带来更多的新鲜感，而且学生也能充分发挥其个性，在课堂上正确解答问题之后也会感受到更多的喜悦.

例题的设计应该是教师结合学生的实际情况而逐渐变化的，希望每一个教师都能对例题进行充分的整合和变通，让课堂短短的几十分钟发挥出最大的效果，也让学生掌握更加系统化的知识网络，形成良好的数学思维.

【参考文献】

[1] 吴爽.高中数学例题解答中导数的典型性应用研究[J].数学学习与研究：教研版，2018（14）：128.

[2] 张倬润.高中数学例题中导数的典型性应用[J].环球市场信息导报，2018（29）：233.

[3] 田丰.例谈高中数学例题的二次开发[J].高中数学教与学，2018，420（24）：5-7.