潘立方

[摘  要] 在几何解题教学过程中，教师应从解决方案的多样性上培养学生的发散性思维，在思路的多样化情况下引导学生进行反思和感悟，一方面让学生养成有序思考的习惯;另一方面也可以找到思维的出发点，直指数学的核心素养及其形成，在此基础上进一步落实解决数学问题的方法，提升数学思维拓展性，凸显数学教学的“教育目的”.

[关键词] 一题多解;解题研究;数学素养

几何题的 “一题多解”一直被人们津津乐道，让人回味无穷. 笔者在一次试题讲评课时，与學生们一起对一道几何题进行了多种方法的解析和反思，以求在反思中感悟方法，明晰思路，提供解决问题的策略.

试题呈现

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC和CD的中点，连结AE和BF，得交点P，连接DP，求证：DA=DP .

试题意图

1. 试题背景

根据正方形这一课时的《课标》要求，既考查了学生对于正方形这一核心知识点的掌握情况，又有适当的提高：破题口的寻找、思路的多样、辅助线的选择等，题意虽简，思路难成.

2. 试题来源

题源1：人教版八年级下教师教学用书第152页13题.

题源2：浙教版八年级下册数学教科书.

3. 简单分析

易证得△ABE≌△BCF，推得AE⊥BF，再由∠APF=∠ADF=90°得A、D、F、P四点共圆.

解法赏析

方法一 巧用倍长构斜中：如图2，延长BF、AD交于G点，易得△BCF≌△GDF，利用Rt△APG斜边上的中线等于斜边一半这一性质得到DA=DP .

方法二 构造全等顺旋转：如图3，连结AF，过D点作DK⊥DP交PF延长线于K点，得∠3=∠4;由得A、D、F、P四点共圆得∠1=∠2，再得∠AFD=∠K;由△ADF≌△BCF得∠AFD=∠3=∠4，所以∠4=∠K，得DF=DK，所以证得△ADF≌△PDK，所以DA=DP .

方法三 四点共圆判等角：如图4，由A、D、F、P四点……