李文杰，周光辉，曹尹平

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

共轭梯度法常用来求解非线性无约束优化问题min{f(x)|x∈Rn}有效方法之一，f(x):x∈Rn→R 为一阶连续可微函数，其一般迭代形式如下：

其中gk=∇f(xk)为目标函数f的梯度函数，αk为步长，dk为搜索方向，组合系数βk为共轭梯度参数，βk取值不同，对应的共轭梯度法不同，著名的Hestenes-Stiefel（HS）、Fletcher-Reeves（FR）、Polak-Ribiére-Polyak（PRP）和Dai-Yuan（DY）公式共轭参数βk计算公式［1-4］如下：

在以上4个公式所对应的方法中，PRP方法和HS方法数值效果比较好，而FR方法和DY方法的理论收敛性比较好.

因此，许多研究者构造兼具上述两优点的新共轭梯度法.例如，韦曾欣等［5］给出PRP 方法的一个变体参数βk：

该方法既满足PRP方法的自动重启、良好的数值性，又满足充分下降性质，有助于证明全局收敛性.姚胜伟［6］等人将这一思想推广到HS方法，提出以下参数

最近，在文献［6-8］的基础上，文献［9］提出一种混合算法：

于这些杂交方法，简金宝等［10］介绍参数βk一种新的构造，如下所示：

根据上述文章思想，结合文献［11］提出的新参数：

产生一个新的共轭梯度法的猜想，并给出参数变量：

1 算法框架及其下降性

基于文献［10-11］提出的混合共轭梯度法，构造如下新算法框架.

算法1

步骤1 任取初始值x1∈Rn，∀ε ＞0,∃0＜δ ＜1,d1=-g1,令k:=1;

步骤2 检验终止条件.如果||gk||＜ε,则停止.否则，由某一个非精确线搜索求得步长αk；

步骤3 令xk+1=xk+αkdk，由式（8）计算返回步骤2.

以下引理指出，不论采用哪种线搜索程序，算法框架中的搜索方向都是下降的.

引理1设搜索方向dk由算法1产生，则

代入式（2）有

代入式（2）有

从引理1的证明过程中，很容……