宫玉荣，刘慧娟

郑州商学院 通识教育中心，河南 巩义 451200

0 引言

在不同情形下，人们会用到不同结构的矩阵， 其中，Hermite 矩阵就是一种结构特殊而应用广泛的矩阵.受Hermite矩阵的启发，文献[1-2]分别对适合条件A*=A2和A*=-A3的矩阵进行了研究，证明了这两类矩阵都是正规矩阵，给出了它们的谱及一些性质.伴随着研究的深入，又获得了对这两类矩阵的一些新认识和进一步结果.本文拟在文献[1]的基础上，对适合条件A*=A2的矩阵A的性质进行深入挖掘，对矩阵的奇异值、行列式、张量积、张量和等进行研究，进一步获得它的奇异值分解式、行列式表示，给出适合此条件的两个矩阵A，B的张量积，也适合(A⊗B)*=(A⊗B)2的基本结果和(A⊕B)*=(A⊕B)2的条件，以期丰富正规矩阵的内容.伴随着对适合条件A*=A2矩阵性质的进一步研究及与应用相联系，关于这种矩阵的结果有望像Hermite矩阵一样用于一些理论研究和实际应用之中[3-7].

1 基本结果

定理1 设A∈Cn×n，A*=A2，r(A)=r≤n，则有如下结论成立：

2)A有奇异值分解

其中，Er是r阶单位矩阵；U,V是n阶酉矩阵.

A=λ1G1+λ2G2+λ3G3+λ4G4

这里GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

其中∑r=Er是一般矩阵奇异值分解所不具备的.

这种矩阵分解的紧凑形式，在线性多变量控制系统中有重要应用[9].

3)由于A是正规矩阵，A的属于不同特征值的特征向量正交[10].现分别将A的属于同一特征值的列特征向量进行正交化和单位化,比如，记λ2单位正交的列特征向量是x21,x22…,x2p2，其他特征值单位正交的列特征向量仿此方法作出和标记，再将所有这些单位正交的特征向量合并在一起，记为x11,…,x1p1,x21,…,x2p2,x31,…,x3p3,x41…,x4p4.

由此得到下面的n阶酉……