陈秀美

摘  要：算法是一种经过归纳、形成模式的计算程序，是解决“怎样计算”的问题。算理则是说明“为什么这样算”的数学原理，它是算法的数学依据，展示了整个解题思路，为学生形成可操作化的计算指明了方向，是学生运算能力形成与提高的保障。

关键词：实际操作;直观算理;数形结合;内化算理;经验转化

【中图分类号】G622.0    【文献标识码】A       【文章编号】1005-8877（2021）05-0179-02

There is a way to build a chain of ideas and trace its origin

——Analysis algorithm

CHEN Xiumei  （Jinguang primary school，Quanzhou City，Fujian Province，china）

【Abstract】The algorithm is a kind of calculation program which has been induced and formed a pattern，and it is to solve the problem of "how to calculate". Calculation principle is the mathematical principle to explain "why to calculate like this"，it is the mathematical basis of the algorithm，shows the whole idea of solving problems，points out the direction for students to form operable calculation，and is the guarantee for the formation and improvement of students' computing ability.

【Keywords】Practical operation;Intuitive calculation;Combination of number and shape;Internalization calculation;Experience transformation

在一次作为教师资格证面试官的时候。有个考生抽到的是分数乘法（1）这课。她整节课都只是在教学生应用分数乘法计算方法：分数乘整数，分母不变，分子相乘。然后进行计算练习。在考官提问时，我们提出：“你知道为什么要这样计算吗？”她说：“没有为什么呀！我们以前的老师就是这样教我们的。”我们再提出：“请你再看看教学目标：经历分数乘法计算方法的探索过程，理解分数乘法的意义。而教材前部分出现大幅板块的目的是什么？”其实这个考生忽略了这节课的重点：分数乘法的算理。她说的也没错，在以前印象中的学习时确实也只教算法。但随着教学改革，教学素养的要求有了很大的提高。这位考生没有去研究新的教学课程标准以及研读教材。而对于现在在教学中增加的算理学习，也让一部分老教师感到不适应，觉得这增加了教学工作量，只要学生会计算就可以了，算理部分的探索往往一带而过。我想现在的教学更多的是要培养学生的技能。“技”就是技术，会解题。“能”就是能力，会自己探索，研究，而明理。所以在数学教学中的分析算理部分是非常重要的。

算法是一种经过归纳、形成模式的计算程序，是解决“怎样计算”的问题。算理则是说明“为什么这样算”的数学原理，它是算法的数学依据，展示了整个解题思路，为学生形成可操作化的计算指明了方向，是学生运算能力形成与提高的保障。那么怎样引导学生析算理，而明算法呢？我觉得对于这部分教学还不是很了解的老师，重点就是研读教材。在小学阶段的教材中出现算理教学的方法一般如下：一是实际操作，直观理解算理;二是数形结合，内化理解算理;三是经验转化，优化理解算理。

1.实际操作，直观理解算理

实际操作一般是利用实物图，数学学具（小棒、计数器、几何图形等），引导学生通过动手摆一摆，理解计算的過程。例如，在二年级下册《有余数的除法》，在这章节中要结合搭正方形的操作过程，认识余数，让学生经历探索余数和除数的关系，理解有余数除法竖式各部分的意思。因为刚接触余数和除数的关系，所以对于学生来说是比较抽象的。因此在教学过程中要安排大量的实践操作让学生进行探索。通过用一组连续根数的小棒摆大正方形的活动，如：14、15、16....20根，引导学生探索有余数除法的意义。学生在操作中会发现有时小棒会刚好用完，有时小棒还会有剩余。这时老师就引出了余数这个概念。为了突破余数要比除数小的这个道理，引导学生在操作中观察随着小棒数量的增加，剩余的小棒也相应的增加，但增加到一定的程度，小棒刚好用完，再继续下去，又出现了之前的现象，重复着的这个过程可以帮助学生清楚地观察余数从无到有，从有到无的过程。通过搭一搭的过程进一步引导学生掌握竖式的写法以及理解竖式各部分的意思。在此搭一搭的实践操作过程为学生理解余数提供了形象化的支撑。再如，小学数学教师在教授学生平行四边形与长方形及正方形之间的关系时，教师可以采用实践操作法，让学生自主发现并直观理解算理。教师要求学生们用刻度尺与量角器自行测量某一事物的四边长短以及它们的角，在做完基础工作后，教师则要学生们自行总结比较测量后得出的结论。学生通过实践操作发现正方形与长方形实际上都是平行四边形的一种，只不过它们较为特殊，另外还有正方形的四边相等、而长方形与平行四边形都是对边相等等等结论。这时教师则需要再次向学生提问：“为什么？”进一步激发学生思考，深入分析自己所得结论的理由。学生可以从测量结论入手倒叙分析，也可以讲述自己所得结论的过程以及推测思路，进而对数学的抽象算理分析有根有据，这不但给数学课堂探究提供了机会，更是使学生的数学思维活性得到进一步的强化。

2.数形结合，内化理解算理

以形论数，以数表形，把抽象的过程直观的展示出来，内化突破了算理中的难点。在教学分数乘整数时，许多学生已经在家长或课外自学中了解了计算法则：分母不变，分子和整数相乘。如果以为学生已经会计算了，那么这节课也就没什么可以教了。但这节课的难点是理解：为什么分母不变。此时就要引导学生进行探索。比如： 3/7  2×    学生可以画线段图：

画几何图：

引导学生从图中看出2个的 相加，分数单位一样都是 ，这样就有2个3的 。内化理解了为什么分母不变的难点。

又如： ÷3  首先引导学生理解是把 平均分成3份。

从图上可以看出来平均分成3份，也就是 的 ，沟通了

分数除法与分数乘法的本质的联系，帮助学生内化并理解分数除以整数的算理。再如，教师在教授学生学习20以内的加减法时，学生较快掌握的知识则是凑十法，利用凑十法的算理完成数学运算学习时，如17-9=8，教师可以引导学生首先思考10-9=？学生很快算出来答案10-9=1。接着再用1+7=8，从而得出17-9=8。但是在应用此算法的过程中，还是会有极少数的学生反应较慢，这时教师就可以准许学生在计算加减法的时候，可以借助手指来完成，当然仅限于20以内的加减法，同时还要学生们讲出其中的算理。依旧是问题17-9=8，学生可以首先在手指上将17数出来，然后在从开始数数的起点依次去掉9，剩下的手指数为8，从而得出17-9=8。这种通过数形结合的方法来帮助学生将算理进行内化，使学生的数学运算能力获得有效的提升。

3.经验转化，优化理解算理

“转化”既是数学思想又是一种有效的学习策略，伴随着学生的学习过程，借助学生原有的计算经验，已认知的概念、定律等，通过联系旧知，延伸新知，打通旧知与新知的脉络理解算理，由一个算理自然而然生成另一个算理。例如，分数乘整数的教材例题：

1个 占一张纸条的 ，3个 占整张纸的几分之几？

学生运用以往经验，可以用加法计算或乘法计算。运用加法计算是直接用已学的分数加法的运算法则进行计算。运用乘法计算，先是用乘法意义，把分数乘法转化为分数加法，再用分数加法运算法则计算出最终得数。接着引导学生观察用乘法计算的演算过程，发现分数乘整数计算时分母不变，整数和分子相乘。这样在解析算理的过程中，学生自然而然地明白了计算方法，优化理解算理的过程，以旧带新再构新算理，得出新的计算法则。

比如，在多边形面积的计算教学中尤其突出，转化思想贯穿整个教学过程。平行四边形转化为长方形，三角形转化为平行四边形，梯形转化为平行四边形或三角形等。这些多边形的面积计算推导是一环扣一环。在教学的一开始，重点是引导学生研究平行四边形转化成长方形。观察，分析两个图形之间的关系。

引导学生观察得到：平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。而第二种剪拼法又为梯形的面积计算推导埋下伏笔。另外三角形的面积计算公式的推导也是要多加以引导。在前面平行四边形面积计算推导的基础上，学生懂得用轉化思想来解决问题，但平行四边形用的是剪拼的方法，是在一个图形上做文章。而三角形的面积推导，要采用填补法，填补成一个平行四边形，相当于两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。公式的推导中，底×高÷2，要让学生理解÷2的由来。在学生的脑子中形成深刻的印象：三角形的面积就是同底等高平行四边形面积的一半。这样学生才不会经常忘了÷2。同理，在知道了三角形面积和其中的底或高，要求另一条底或高。要先用三角形面积×2÷底（高），也就是要先把三角形转化成平行四边形，要用两个完全一样的三角形拼，就要先×2，因为同底等高，所以接着再÷底（高），即使学生忘记了公式，但是记得转化的推导过程，也能顺利的解决问题。至于梯形的面积计算公式的推导在综合经历了平行四边形和三角形面积计算公式的推导后，学生也能运用转化思想探索出梯形的面积公式。在学习读亿以内的数时，教师应该从关键环节着手，让学生们在已有的经验前提下进行数学探索：首先，教师在黑板上写出一个万以内的数，并让学生将它准确的读出来，邀请一位学生说一说读此数的方法。其次，教师在黑板上再次写出一个含有两级的数，让学生以小组的方式进行讨论，探讨这些数同之前的数有什么不同？在读法上又有什么区别？学生在讨论探索中将新旧知识联系在一起，并根据问题分析两者之间的区别，从而发现知识的生长点，采用知识迁徙的方法完成对新知识的理解和记忆。最后，教师在向学生出示一组数比，并解散小组，让学生们独立完成探索，并尝试将这组数准确的读出来，通过任务的设定促使学生去寻找问题的答案，并通过已掌握的知识对其进行分级。在这样的自主探究中，学生结合旧知经验完成了读亿以内的数中数字“0”的读法，然后自己再将探索出的结果进行有效的总结，这种通过自主探索，联系旧知经验的方法得出的算理，会在学生的数学系统学习中“难以忘却”，这使得学生数学学习质量及有效性得到了保障，同时也让学生的数学逻辑思维能力及思维缜密性得到了锻炼和提升。

教学不但要让学生在直观中明白算理，还要让学生掌握抽象的法则，更重要的是让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程。算法的掌握应该和算理的理解统一起来，在分析算理的过程中明白计算法则的由来，使学生不仅知其然，而且知其所以然。有自主学习的能力会思考，会想象，会推理，会解释，会总结等，养成勇于探索的精神。在教学中笔者始终围绕“构建清晰的思路链，让学生有路追本溯源”这一思想宗旨。让学生打破死记硬背公式，懂得沿着一定的思路链自行探索，推理，掌握解决问题的策略。

参考文献

[1]北京师范大学出版社出版.义务教育数学课程标准，2011

[2]北京师范大学出版社出版.数学教师教学用书，2016