余跃玉

(四川文理学院 数学学院，四川 达州 635000)

为深入落实教育部《关于在疫情防控期间做好普通高等学校在校教学组织与管理工作的指导意见》、四川省教育厅《关于切实做好新冠肺炎疫情防控期间学校教育教学组织与管理工作的通知》(川教函 [2020]47号)精神，四川文理学校从2月初就开始利用网络信息化教学手段，统筹整合各大教育平台和优质课程资源，对全校教师进行了的各种在线课程网络教学培训，为实现做好“停课不停学”[1]的目的做足了功课.

2月24日，正当全校师生满怀激情集结于云端时，由于各大教学平台都不同出现了超负荷运转，导致教学受阻.面对这种现象，大家选择利用多种技术和平台，灵活组织各自的教学活动.具体做法如下.

1 正视疫情环境下在线教学的机遇与挑战

“停课不停学”的倡议是我国教育行政部门在新冠肺炎疫情弑略下，学校师生无法正常开学的背景下，做出的一个不得已而为之的举措.由于疫情发展的突然且迅速，来不及给学校时间与空间去系统的进行在线教学准备.在此环境下，在线教学面临着诸多的挑战，同时也迎来了许多难得的机遇.[2]

从2月初开始，各地纷纷推出线上教学培训方案，在线学习指导方案等，一时间“停课不停学”上了网络热搜，成了人们热议的话题.可是在实际推进“停课不停学”在线教学工作中，存在着来自各个方面的挑战.其中最为突出的是我们的直播教学准备还欠充分，具体表现在以下三方面：一是，教师如何开展在线教学，如何检测教学效果，这需要对教师进行针对性的培训；二是，学生如何自觉在家在线学习，完成知识的完整积累，这需要对学生加以正确的引导；三是，师生在网络、硬件和软件等方面的普及情况，相关教学平台的服务方的准备情况，都存在着参差不齐的现象，特殊情况下，大规模、高并发的网络直播授课等，都存在着大量的挑战.为此，对“停课不停学”的支持与反对的观点也成了教育界争论的话题.

2 教学平台的分析与遴选

2月初，四川文理学校对教师陆陆续续举行了诸如智慧树、雨课堂、MOOC等教学平台的使用培训，每个教学平台都建立自己的讨论群，我们通过对每种教学平台的优缺点进行了认真分析，发现中国大学MOOC(Massive Open Online Course)[3-4]集聚了国内最好的高校(如北大、清华、浙大、复旦等)的优质精品课程.其多终端的随身学习支持功能，极大地方便了学生的随时学习的需求.每门课程的课件、视频、测验、作业、答疑及课后讨论，成功的完善了学生的学习全过程.MOOC+SPOC (Small Private Online Course)又能将MOOC 与校内课堂紧密结合，可帮助学校、培训机构等轻松建立属于自己的在线课堂，为教师实现共享共建优秀课程资源提供可靠的技术平台，还能应用大数据对学生的学习行为进行数据追踪统计，有利于教师和学校进一步完善教学过程的管理.基于MOOC强大的资源，我们最终选择了MOOC+SPOC作为线上教学的主流平台.

腾讯课堂凭借QQ客户端的优势能实现在线师生的即时互动交流，QQ多年积累的音视频实力，能为课程教学提供高音质及最流畅的直播效果，它支持PPT演示以及屏幕分享，它提供的签到、画板等功能便于课堂管理与板书演示，能使学生感觉直播教学与平时的线下效果近乎一致，其重放功能让学生的学习可以打破时间与空间的限制，基于这些优点，我们选择了腾讯课堂作为我们的直播平台.

由于高等代数高度的抽象性及大量的运算，需要大量的板书进行辅助，虽然腾讯课堂有画板功能可以进行板书，但难以达到线下课堂同等效果，而西沃教学助手恰好能弥补这一缺陷，对于课程中的定理证明、行列式运算、矩阵运算及矩阵的初等变换等，我们选择了西沃软件的投影功能，将教师在纸上的板书投影到屏幕上，实现学生只通过腾讯课堂无需转换就可看到老师的板书，这与线下教学效果相差无几.从而，MOOC+SPOC，腾讯课堂、西沃教学助手构成我校高等代数等课程混合式教学的主要工具.

3 高等代数课程教学的模式构建思路

“高等代数”作为数学类和统计类专业学生的必修课程之一，涵盖了公理化思想、分解思想、地推思想、归纳与演绎方法、矩阵方法等代数所特有的思想方法，[5]这些思想和方法构成了“高等代数”的核心和灵魂.学习“高度代数”对培养学生的数学基本素养、提高学生的计算与分析能力能起到至关重要作用.[6-8]但其中高度抽象的理论及其变换多端的思维方式，可能会使学生难以正确理解或灵活运用，使部分学生对其产生畏惧心理，进而可能失去学习的兴趣.为激发学生的学习激情，提高学生学习效果，我们对高等代数的教学模式的构建拟定了如下思路：

3.1 创造轻松学习氛围，诱发学生学习主动性

我们可以构思一些生活中的小问题，让学生自己观察，寻求解决办法；利用“高等代数”的历史背景和相关数学家的励志故事，消除学生对其高度抽象性的恐惧，让学生真正的体会到学习的真谛不是考试成绩的高低，而是如何将学到的知识内化于心，同时外化于实践.

3.2 注重“高等代数”中重要思想方法的总结及应用

如：化抽象为具体的同构思想，就是利用同构映射，可以将抽象的复杂的空间问题转化为n维向量空间的问题，将抽象的线性相关性问题转化为向量空间的相关性问题，将形式各异的线性变换的问题转换为矩阵运算关系，研究二次型、线性变换转化为研究矩阵的问题；化一般为特殊的等价分类思想，就是将研究对象利用等价关系进行分类，每一类中选取简单、特殊的元素进行研究，再将结论推广到一般的方法，强调这种思维方式将有助于培养学生自主分析问题和解决问题的能力；在如，化演绎论证为几何直观的数形结合思想，借助于直角坐标系理解欧氏空间中的标准正交基，利用中学学习的二次曲线、二次曲面的分类讨论二次型的标准形及分类，利用向量的垂直分解理解Schmidt正交化方法等；在多项式、逆矩阵，线性空间等概念中还蕴含着结构化思想、公理化思想；齐次线性方程组基础解系存在性定理、哈米尔凯莱定理以及线性变换的秩与零度关系定理中的构造思想等.如果在教学中强化这些数学思想，将有利于提升学生对问题的化归和转化能力，这也是高等代数知识的精髓和内涵.

3.3 加强课外实践，强化知识深度，拓宽知识广度

由于人才培养方案对课堂教学时长是有限制的，具有高度抽象性和思维多样性的高等代数，要求教师必须将课堂教学与课外实践有机结合，才能使学生对知识的掌握达到内化于心，外化于实践.[9-12]为此，我们采用了MOOC+SPOC中的作业与测验，对学生的基础知识做最基本的训练；利用QQ平台的讨论功能和分享屏幕对每周的知识点进行分析讨论、对重点内容进行强化训练，对难点进行分解剖析或者进行转化，让学生能真正的从实践中发现问题，并在实践中寻求解决问题的方法，还能提高学生对知识的应用能力.

3.4 引入数学软件辅助教学，增强对知识认知的直观性

在课外，我们让同学们自由组合一个数学软件学习小组， 让他们本着自愿的原则学习MATLAB等熟悉软件，鼓励大家利用软件对行列式的计算、矩阵运算和初等变换以及线性方程组的求解进行检验，利用软件求矩阵的特征值等，这对提升学生的学习兴趣，增强对知识的认知能力将会起到加速催化的作用.

4 高等代数混合式教学模式的实施

在“停课不停学”的特殊期间，四川文理学院的空中教学工作有条不絮的开展着，各种教学平台、教学方式及实际举措百花齐放，各显身手.其中的高等代数教学模式主要采用了MOOC+SPOC网上平台，腾讯课堂在线直播，西沃教学助手，QQ等多种混合式交互模式，下面以矩阵的乘积为例进行实例分析.

4.1 课前教学准备

在矩阵乘积教学之前，我们为学生布置了如下课前预习内容：(1) 观看MOOC中的视频教学课程，初识矩阵乘积运算；(2) 矩阵的加法运算和数乘运算非常直观简单，思考为何矩阵乘法不采用类似的对应位置上的元素相乘来进行运算呢？(3) 通过网络查询矩阵乘法的来源和意义.学生们带着问题进行学习，展开思考；通过阅读网络文献，明白了实际中的应用和理论上的价值才是科学发展的生命力.

4.2 利用腾讯课堂和西沃教学助手进行课程直播教学

由于MOOC教学内容精简，一些细节问题的处理很少深入，单纯看MOOC视频，学生难以掌握其中的关键点.为此，我们利用腾讯课堂对矩阵乘法的运算法则进行了详细的分析.第一，矩阵可乘条件的分析，让学生明白不是任意两矩阵都能相乘，两矩阵相乘必须要求前者的列数与后者的行数相等，否则乘积无意义；第二，若A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则C=AB矩阵将为m×s矩阵，让学生明白乘法运算后的结果矩阵的模样；第三，乘积的结果矩阵C中元素的计算方法为：cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,s，让学生基本掌握乘积运算的具体操作方法.

理论上的方法必须回归实践，为了让学生熟练掌握矩阵的乘法运算，我们利用西沃教学助手，进行板书投影，让学生的思路紧跟老师的笔迹，达到师生思想合一的境界，有助于集中学生的注意力.投影的内容主要是列举一些矩阵乘积的实例.

通过这个例子让学生进一步认识矩阵可乘条件的重要性，实际感受矩阵乘法的操作过程，同时留给学生一个矩阵乘法不可交换的初步印象.

让学生看到矩阵乘法即或是交换前后位置，乘积都有意义，但结果不一定相等，进一步说明矩阵乘法不可交换；同时，通过这个例子，使得学生感受到两矩阵乘积为零矩阵，这两矩阵不一定必有一个为零矩阵，这为后继课程近似代数中的零因子埋下了伏笔.

进一步引导学生去思考如何去计算(AB)k，让学生领略特殊矩阵乘方的运算技巧.

通过以上三个实例的分析后，我们利用腾讯课堂提问的方式，引导学生自行推导出矩阵乘法的运算规则，从而达到课堂教学的目标.

4.3 课后辅导、巩固练习及学习效果检测

虽然处于疫情期间，我们的学生对知识的渴望程度并没降低，这时的QQ群就成了同学们的第二课堂，在群中我们设计了如下的交流讨论主题：(1) 特殊矩阵的乘积规则，如A为m×n矩阵，则A左乘一个m维的标准单位行向量；或右乘一个n维的标准单位列向量；或既左乘一个m维的标准单位行向量，又右乘一个n维的标准单位列向量的结果是怎样的？A左乘一个m阶对角矩阵；或右乘一个n阶的对角矩阵的结果如何？(2) 通过查找文献，讨论矩阵乘法的应用.通过讨论，同学们不仅强化了知识的积累，更增强了学习的兴趣.

数学学习中作业是必须的一个环节，由于疫情的原因，我们难以收集学生的书面作业，MOOC+SPOC中的作业和每周测验就成了我们检验学生学习效果的客观依据，课后布置的一些主观性的题型，我还是会要求学生做在作业本上，每周一次通过QQ进行抽样检查.从前八周MOOC+SPOC中的系统评分统计(表1)表明我们的混合式教学模式是可行且有效的.

表1 MOOC系统评分统计表

5 总结与展望

两个多月的多平台的混合式教学模式打破了师生在时间与空间的限制，实现了特殊时期特殊条件下的停学不停课的目标，多种交互平台及多种教学手段的相互融合，使得我们的课堂更具生机与活力，学生学习兴趣得到了充分的激发，学生主动学习与探索的场地变得随时随地，教学效果检测达到了预期的目标.

由于特殊时期的教学全集中在云端，互联网本身又存在着虚拟属性，个别学生会因为学习行为无人监管，而自我行为的约束可能会放松，导致学习脱节现象，还有个别同学可能会因为家庭或地域影响，云端学习无法完全同步，导致学习效率欠佳，这些都需我们在学生返校后加以查漏补缺.我们全体师生都盼着疫情早日结束、让我们的校园重现往日的生机！