刘剑修 戴琳 杨涛

摘要：宏观经济指标的变动对我国居民的生活有着重要影响。文章选取1996～2020年的GDP、CPI、第三产业和M2的季度同比增长率数据，利用C-Vine Copula研究这4个指标间的相关性及其尾部依赖特性。研究发现，GDP与其它三个指标相关性最强，第三产业和其它三个指标的相关性次之，而M2和其它3个指标的相关性最弱。

关键词：C-Vine ;Copula;相关性;宏观经济指标

一、引言

GDP、CPI是衡量经济增长和通货膨胀的重要指标，M2和第三产业是衡量货币供应和国家发展水平的重要指标。改革开放40年以来，我国GDP从1978年的3678.70亿元增长到2019年的99.09万亿元，增长了近270倍，CPI同样经历了多轮涨幅。2013年3月我国M2首次突破百万亿元，仅仅过了7年时间，在2020年1月我国M2突破两百万亿元。同样是在2013年，我国第三产业比重首次超过第二产业。

近年来，研究GDP等宏观经济的文献相对较多。王双正（2009）基于VAR模型，得出通货膨胀与经济增长具有双向的格兰杰因果关系。周文和赵果庆（2012）利用1996～2009年GDP、CPI及M2增长率的季度数据，建立非线性动力系统模型，得出两者长期均衡的非线性关系，存在同向变动关系。从现有的文献来看，对于GDP的研究多数使用计量方法，但传统的线性相关检验在解决非线性相关关系时存在一定的局限性。Copula作为一个“连接”函数，可用于描述变量间的非线性相关关系。王童和雷怀英（2017）用二维Gumbel Copula描述CPI与GDP间的相关关系，得出两者多数时间保持协同运动。刘晓晓和何华等（2019）用三维Copula函数对CPI与GDP、M3进行相关性分析，得出三者具有正相关性。在Copula的框架下，描述高维变量的相关关系时，常以藤（Vine）的结构形式将高维Copula分解成二维Copula或者条件二维Copula，最常用的藤结构有C藤和D藤。基于以上研究，本文利用C-Vine研究GDP、CPI、M2和第三产业季度同比增速之间的关系。

二、模型的建立

（一）Copula函数

Sklar在1959年提出了Copula理论，该理论指出一个具有一元边缘分布F1，…，FN的联合分布函数F一定存在一个Copula函数 C：[0，1]n→[0，1]，且满足：

F（x1，x2，…，xn）=C（F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn））（1）

若（1）式中F1…Fn是连续的，那么C是唯一的。若C是一个Copula，F1…Fn是边缘分布函数，则由上式定义的F（x1，x2，…，xn）是一个联合分布函数。

Copula经历了二维到高维的拓展，在高维的情形下，Bedford和Cooke利用图形工具”Vine”提出正则藤，将高维Copula分解成二维Copula或者条件二维Copula。不同的分解方式对应着不同的藤结构，最常用的有C藤和D藤。根据其结构特点，本文基于C-Vine进行研究。

（二）C-Vine

一个有n个变量的C藤由n-1棵树构成，记为T1，T2，…，Tn-1，第i棵树的节点集记为Ni，边集记为Ei（i=1，…n-1），它们需满足以下条件：

1.树T1的节点集N1={1，2，3…n}，边集为E1;

2.第i棵树的节点集和边集的数量关系为：Ni=Ei-1（1，2，3…n-1）;

3.Ti（i=1，…，n-1）只有一个根节点连接到n-i条边上。

由定义可知C藤中每棵树都有一个根节点与其它所有节点相连接，这样的结构适用于变量之间重要性的排序。本文以四维C藤为例，具体的连接结构如图1所示：

Cooke提出对于连续分布的随机向量X=（X1，…，Xd）T，其联合概率密度函数f（·）可以用二元条件Copula函数和它的边际密度函数来表示，通过C-vine的特殊结构，可以得到n元C-Vine的联合密度函数为：

f（x1，x2，…，xn）=∏fk（xk）∏∏Cj，（i-j）|1：（j-1）（Fj|1：（j-1），Fi+j|1：（j-1））（2）

其中fk表示邊缘密度函数（k=1，2，…，n），Cj，i+j|1：（j-1）表示二元Copula密度函数，Fj|1：（j-1）表示条件分布函数Fj|1：（j-1）（xj|x1：（j-1））。

三、C-Vine中根结点及二元Copula的选择

在C-Vine模型的构建中，每棵树（Tree）都有一个根节点，因此根节点的选择是至关重要的。本文采用Czado C提出的方法对根节点进行选择，步骤如下：

1.假设有n个变量，每个变量有T个观测值，估计所有观测变量的相关测度Kendalls，将其记为子赞i，j，i，j=1，2，…n。

2.计算每个变量的Kendalls和，将有最大Kendalls和的变量定义为第一根节点，记为T，排列变量得到T1，Kendalls和的计算方法如下：

子赞i，sum=∑|子赞i，j|，i=1，…，n（3）

3.假设已对T1中的每条边选择了合适的Pair-Copula，估计的参数向量为兹赞。根据（3）式估计的参数向量，计算剩下n-1个变量的h函数如下：

ui+1 |1，t=h（ui+1，t|u1，k;兹赞），i=1，…，n-1;t=1，…，n（4）

4.估计n-1个变量的所有Kendalls和，找到使得（3）式最大的变量，定义为第二根节点，记为T。

5.重复以上步骤，直到依次确定所有C-Vine中的根节点。

在确定了每棵树的根节点之后，本文利用 AIC准则选择合适的二元Copula。

四、实证分析

本文基于C-Vine Copula研究GDP、CPI、第三产业和M2季度同比增长率间的相关性及尾部特征，数据来自中经网统计数据库和国家统计局，时间跨度为1996年1月到2020年6月。该4个指标的季度同比增长率如图2所示。

从图2中可以看出，1996～2010年GDP和第三产业的增长保持高度一致，2012～2019年第三产业的增长率明显高于GDP的增长率，这说明我国的第三产业正快速发展。但在2020年第一季度，我国经济受到了新冠肺炎的冲击，GDP首次出现负增长。在国家有力的管控下，在第二季度，我国的GDP实现了正增长。在2008～2010年由于受到全球经济危机的影响，CPI的增长率出现了较大的波动。从2011年至今，我国的CPI增长率维持较低的增长，处于一个“爬行式”的水平，这属于正常的物价上升。相比于GDP的增长，广义货币M2的增长处于一个较高的水平，2020年M2的余额已经突破了200万亿元。表1为4个指标增长率的统计特征。

从表中可以得出，1996～2020年GDP和第三产业具有一定程度的左偏，这和近几年我国经济的转型有关，GDP的增速明显放缓。M2和CPI具有一定程度的右偏，但数值较小。从p值来看，均拒绝正态分布的原假设。

本文的重点是研究GDP与CPI、M2和第三产业增长率间的关系，对数据的边缘分布不做具体讨论，利用累计分布函数将增长率数据转换为Copula数据，然后用上文介绍的方法选择合适的C-Vine结构以及二元Copula函数。表2给出了Copula数据的Kendalls和。

从表2中可以得出，GDP的增长率具有最大的子赞sum，因此GDP为C-Vine结构中第一棵树的根节点。将GDP增长率序列变量记为T，表3给出了已知GDP增长率后的Kendalls和。

从表3中可知，第三产业增长率具有最大的Kendalls和，因此第三产业增长率为C-Vine结构中第二棵树的根节点。同理，用同样的方法可以得到CPI为第三棵树的根节点。

本文对每棵树每条边对应的二元Copula进行选择时，采用AIC准则进行选择，表4为每条边对应的Copula以及相应的参数值。

表4中的下标G、D、M、C分别代表GDP、第三产业、M2和CPI的季度同比增长率序列。T1中对应的Copula分别为Gumbel Copula和BB8 Copula。Gumbel Copula函数对变量上尾处分布变化较敏感，说明GDP和第三产业间增长率的分布在上尾处具有很强的相关关系。BB8 Copula为双参数Copula，它能够刻画变量间非对称的尾部相关关系。T2中对应的二元Copula为Frank Copula，说明在已知GDP增长率的序列后，第三产业与M2和CPI增长率之间具有对称的尾部特征。T3中对应的二元Copula为Clayton Copula，说明变量间的下尾处具有较强的相关性。根据C-Vine的分解形式，可以得到这4个指标增长率的C-Vine模型为：

C（uG，uD，uC，uM）=CGD·CGC·CGM·CDC|G·CCM|DG（5）

从C-Vine结构可以得出，T1中的根节点为GDP，T2中的根节点为第三产业，T3中的根节点为CPI，CGD为Gumbel Copula;CGC和CGM为BB8 Copula;CDC|G和CDM|G为Frank Copula，CCM|DG为Clayton Copula。因此在这4个宏观经济指标中，GDP与其它3个指标的相关性最强，第三产业与其它3个指标的相关性次之，M2与其它3个指标的相关性最弱。

五、结语

本文在Copula的框架下，利用C-Vine结构去捕捉GDP、第三产业、M2和CPI间的相关关系，基于Kendalls和的最大值，对C-Vine的结构进行分解。通过C-Vine的分解形式，可以得到T1中每条边对应的Copula分别为Gumbel Copula，BB8 Copula，T2中对应的二元Copula均为Frank Copula，T3中对应的二元Copula为Clayton Copula。同时得到M2、CPI、第三产业、GDP与其它3个指标的相关性依次增强。将C-Vine结构的建模方法运用到宏观经济指标的相关性研究中，能更好的刻画变量间的相关性及尾部特征。

参考文献：

[1]王雙正.基于VAR模型的通货膨胀与经济增长关系研究[J].经济理论与经济管理，2009（01）：21-27.

[2]周文，赵果庆.中国GDP增长与CPI：关系、均衡与“十二五”预期目标调控[J].经济研究，2012（05）：5-18.

[3]王童，雷怀英.基于Copula函数的CPI与GDP相关性研究[J].统计与决策，2017（17）：18-21.

[4]刘晓晓，何华，张建.基于三维Copula函数的CPI与GDP、M3相关性研究[J].河北工业大学学报，2019，48（01）：13-17.

[5]戴琳，许东旭，刘慧敏.基于动态Copula-CoVaR系统性风险的评估[J].中国集体经济，2020（06）：87-92.

[6]Bedford T， Cooke R M. Probability Density Decomposition for Conditionally Dependent Random Variables Modeled by Vines[J].Annals of Mathematics and Artificial Intelligence，2001，32（01）：245-268.

[7]Czado C， Schepsmeier U， Min A. Maximum likelihood estimation of mixed C-vines with application to exchange rates[J].Statistical Modelling，2012，12（03）：229-255.

（作者单位：昆明理工大学理学院。戴琳为通讯作者）