摘 要：离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的值或取值范围是高考的重点、难点和高频点. 该知识点的考查紧紧依托教材，源于课本，高于课本.往往由若干基本知识，经过类比、引申、改编而成.

关键词：双曲线;渐近线;离心率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0022-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：

李昌成（1977.9-），男，四川省资阳人，本科，中学正高级教师，从事高中数学教学研究.

一、题目呈现

题目 （2021年新高考一模试卷第12题）已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为（）.

A.62B. 3C. 362D.33

二、总体分析

本题是新高考一模试卷中多选题的压轴题，着重考查双曲线的几何性质和离心率. 该试题新颖而又有创造性，解法更是多样化. 教师在平时的课堂教学中，要引导学生理解由离心率的变化带来的双曲线的变化，在解题过程中选择正确的方法，这样才能够快速准确地求出双曲线的离心率.

王尚志教授曾提出开展主题教学的主张——教师应以“章”或数学中的重要主题或选择通性通法作为学习主题，防止学习内容的“碎片化”，使学习过程具有全局观念下的连贯性，在主题学习活动中提高学生的数学核心素养.

笔者试着遵循以上的求解思路和学习主张，由具体推及一般，找到解决此类问题的通性通法，以期达到抛砖引玉之功效.

三、试题解答

题设中给出的是两线段的长度关系，并不明确点F2是内比分点还是外比分点，因此需要分AF2=13F2B和AF2=-13F2B两种情况求解.

情况1即AF2=13F2B.

解法1 利用平面解析几何知识结合双曲线的性质推理求解.

设OA所在的直线方程为y=bax，即bx-ay=0，则AF2=bcb2+a2=bcc=b.又OF2=c，所以OA=OF22-AF22=c2-b2=a.

由题及图1，易得F2为AB的内比分点，所以F2B=3AF2=3b.

设∠AOF2=α，则∠AOB=2α.

在RtΔOAF2中，tanα=ba，在RtΔOAB中，tan2α=4ba，又tan2α=2tanα1-tan2α，

所以2·ba1-（ba）2=4ba，化简整理，得b2a2=12，结合b2=c2-a2，以及e=ca，解得e=62.

解法2利用向量条件中所含的几何关系和代数关系，借助直线的方程推理运算求解.

由已知条件得，直线OA方程为y=bax，①

直线OB方程为y=-bax，②

直线AB方程为y=-ab（x-c），③

联立①③得xA=a2c，联立②③得xB=a2ca2-b2.

由AF2=13F2B，有c-xA=13（xB-c），

所以3（c-a2c）=a2ca2-b2-c.（*）

整理，得2c4-5a2c2+3a4=0，所以2e4-5e2+3=0，即（2e2-3）（e2-1）=0.

又e>1，所以e=62.

情况2即 AF2=-13F2B.

结合解法1，AF2=b，OF2=c，所以OA=OF22-AF22=a.

由题及图2，易得F2为AB的外比分点，所以F2B=3AF2=3b，AB=F2B-AF2=2b.

设∠AOF2=α，则∠AOB=π-2α.

在RtΔOAF2中，tanα=ba，在RtΔOAB中，tan（π-2α）=2ba，tan2α=-2ba，又tan2α=2tanα1-tan2α，所以2·ba1-（ba）2=-2ba，化简整理，得b2a2=2，解得e=3.

综合以上两种情况，本题正确选项为AB.

评析 解法1本质上是几何法，以垂直为切入点，又因为两条渐近线关于x轴对称，所以存在二倍角关系，将这些要素结合起来，建立双曲线中基本量之间的关系式，从而顺利求解;而解法2则是联立直线方程，求出A，B两点的横坐标，再结合两向量间的关系求解，思路自然，解题过程并不复杂. 在平时的解题教学中，教师要有意识地启发、引导学生从不同的角度进行思考，同时鼓励大家尝试不同的解题思路和方法，逐步提高学生的思维能力和运算能力.

四、一般推广

结论 已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=λF2B，则该双曲线的离心率为e=2λ+1 .

解析 此处不明确点F2是内比分点还是外比分点，因此需要分两种情况讨论.

以下重点结合解法1求解，得出一般结论.

（1）若λ>0，即点F2为AB的内比分点（如图1），可求得AF2=b，F2B=1λb，OA=c2-a2=b.

设∠AOF2=α，则∠AOB=2α.

由已知条件易得tanα=ba，tan2α=b+1λba=（λ+1）bλa.

又tan2α=2tanα1-tan2α，所以2·ba1-（ba）2=（λ+1）bλa.

結合b2=c2-a2，化简，整理得λ=2a2-c2c2=2e2-1，所以e2=2λ+1，即e=2λ+1.

（2）若λ<0，显然λ>-1，即点F2为AB的外比分点（如图2），易求得AF2=b，F2B=-1λb，OA=c2-a2=b.

设∠AOF2=α，则∠AOB=π-2α.

由已知条件及图可得AB=F2B-AF2=-1λb-b=-λ+1λb，因此tanα=ba，tan（π-2α）=-λ+1λba=-（λ+1）bλa.

又tan（π-2α）=-tan2α，所以tan2α=（λ+1）bλa.以下同（1），求得e=2λ+1 .

评析 本题是此类问题的一般推广，因为参数的正负不明确，所以在研究时需要讨论.根据直线与双曲线的位置关系画出对应的图象，再利用数形结合，找到基本量之间的关系式，通过整理、变形、化简，最终得到离心率. 通过求解的最终结果，发现点F2无论是线段AB的内比分点还是外比分点，（注：垂足A为起点，F2为分点，B为终点）都可以得出统一的结论，即e=2λ+1. 而这种类型的题，基本上是以选择题的压轴题出现. 只要大家理清了问题的本质，可以直接带值求解，这样既节省解题时间，又提高了解题效率.（有兴趣的读者可以针对文首的压轴题分别代入λ=13和λ=-13进行求解验证）

五、解题反思

本文是专门探讨一类求解双曲线的离心率的经典题型，即经过双曲线的一个焦点的直线与其中一条渐近线垂直，与另一条渐近线相交，在明确长度关系的条件下，求离心率的问题.求解方案通常有两类：一类是综合几何法，以直观想象为基础，以曲线的定义及几何性质为抓手推理运算求解;另一类是解析几何法，以数学运算为基础，依托曲线的方程为切入点，通过运算推理求解. 直观想象素养为第一方案的思路产生提供了保障，而数学运算素养为第二类方案的思路产生提供了支撑.同时逻辑推理素养是两种方案中不可缺少的共同基础.

通过研究近几年的考题，发现题目中基本没有给出图形，因此这就需要解题者结合题意，快速准确地画出图形，并从中找出几何关系，再转化为数量关系求解. 有时也可以借助几何直观助力思考，从而不断提高解题者的直观想象能力和逻辑推理能力. 同时还可以借助向量、三角函数等知识简化运算，培养学生的解题能力和思维能力.基于新课程改革的要求，如何在解题教学中落实学生的核心素养，是每一位教育工作者需要深入思考的问题. 在教学中注重数形结合的思想，方程的思想，在对圆锥曲线等解析几何问题的解答过程中，需要将几何问题代数化，培养学生的数学应用意识，切实将数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养落到实处.

参考文献：

[1]陈言.基于数学教学主题 培养数学核心素养——以“再探圆锥曲线的离心率”教学为例[J].福建基础教育研究，2019（07）：57-58.

[2]王尚志.如何在數学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016（09）：33-38.

[责任编辑：李 璟]