摘 要：向量是高中数学的重要知识点，分为平面向量和空间向量两大类，常作为解答相关习题的工具.教学中为提高学生的解题能力应注重为学生讲解向量在不同题型中的应用，使其掌握相关的应用思路与技巧.

关键词：向量;高中数学;解题;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0046-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：潘敏（1983.11-），男，广西百色人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

向量在解答高中数学习题中有着广泛的应用.因高中数学题型灵活多变，应用向量解题的思路千差万别.为提高学生应用向量解答数学习题的能力，应做好向量基础知识的讲解，本文将结合具体的习题，展示向量的有效应用.

一、用于解答向量习题运用向量知识解答相关的向量习题时应根据问题创设的情境合理的设出相关参数，结合向量的几何运算、坐标运算法则构建参数之间的关系.同时还应注重联系所学的函数与方程知识，对问题进行巧妙的转化，以达到顺利解题的目的.如下题：

已知平面向量a、b、c，|a|=|b|=2，若（2c-a）·（c-b）=0，则c·b的最大值为（）.

A.2B.94 C.174D.5

∵a、b、c为平面向量，且|a|=|b|=2，不妨设b=（2，0），a=（2cosα，2sinα）（α∈[0，2π]），c=（x，y），则c·b=2x，将问题转化为求x的最大值.

∵2c-a=（2x-2cosα，2y-2sinα），c-b=（x-2，y），

又∵（2c-a）·（c-b）=0

∴（2x-2cosα）（x-2）+（2y-2sinα）y=0，

整理得到：y2-ysinα+x2-x（cosα+2）+2cosα=0

要想该方程有解，则

Δ=（sinα）2-4x2+4x（cosα+2）-8cosα≥0，

令t=cosα，t∈[-1，1]，则4x2-4x（t+2）+t2+8t-1≤0，

解得t+2-5-4t2≤x≤t+2+5-4t2.令5-4t=m，m∈[1，3]，则t+2+5-4t2=-（m-2）2+178≤178，

∴x的最大值为178，则c·b的最大值为2×178=174，选择C项.

二、用于解答三角形习题

运用向量解答三角形相关的习题时不仅要注重向量几何运算法则的正确应用，而且应注意几何知识，包括角度与角度的代换，线段与线段的代换，正弦与余弦定理等的灵活应用，以顺利破题.如下题：

已知O是△ABC的外心，且A=π3，cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m的值为（）.

A.12B.32C.52D.72

∵cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，两边同乘以AO，得到：

cosBsinCAB·AO+cosCsinBAC·AO=2mAO2

又∵O为△ABC的外心，

∴AO=BO=CO，设θ1、θ2为AB和AO，AC和AO的夹角，

∴AB·AO=|AB||AO|cosθ1=|AB|22，AC·AO=|AC||AO|cosθ2=|AC|22.

又∵2AO=BCsinπ3，

∴cosBsinCAB2+cosCsinBAC2=4mBC23，

由正弦定理得到：

sin2C×cosBsinC+sin2B×cosCsinB=4msin2A3，

又∵sinA=32，

∴sinCcosB+sinBcosC=m，

∴sin（B+C）=sinA=m，∴m=32，选择B项.

三、用于解答立体几何习题

空间向量是解答立体几何习题的重要工具.利用空间向量解题时为提高运算效率，应注重选择合适的角度建立空间直角坐标系，而后根据题干给出的已知条件，通过计算准确的找到相关点的坐标，运用空间向量的坐标运算进行求解.如下题：

已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，且AB=AC=AD=3，BC=23，点E为CD的中点，点F为BE的中点，点M、N为空间中的两动点，且MBMF=NBNF=2，MN=2，则AM·AN的值为（）.

A.3B.4C.6D.8

根据题意，设底面△BCD的中心为O，以过O点平行于BC的直线为x轴，以OD所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.由题中的已知条件可知B（-3，-1，0），D（0，2，0），C（3，-1，0），∵点E为CD的中点，点F为BE的中点，∴E（32，12，0），F（-34，-14，0），设M（x，y，z），∵MBMF=NBNF=2，则MB=2MF，∴（-3-x，-1-y，-z）=2（-34-x，-14-y，-z），∴x=32，y=12，z=0，∴x2+y2+z2=1，表明点M在以O为球心，以1为半径的球面上.同理N也在这个球上.

∵MN=2，∴MN为球的直径.

∴AM·AN=（AO+OM）·（AO+ON）=（AO+OM）·（AO-OM）=AO2-OM2=5-1=4，选择B项.

四、用于解答圆锥曲线习题

运用向量解答圆锥曲线相关习题时既要根据给出的向量关系准确的判断角度、线段之间的隐含关系，又要注重运用传统的解题思路，注重根与系数关系的应用，通过对相关参数的巧妙转化与应用，顺利的突破要求解的问题.如下题：

已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F斜率为-1的直线和抛物线交于M、N两点，直线l和抛物线相切，且l∥MN，P为l上的动点，则PM·PN的最小值为（）.

A.-12 B.-14 C.-16 D.-18

根据题意可知抛物线的交点为（0，1），过点M、N的直线方程为：y=-x+1.将其和抛物线C：y2=4x联立，整理得到x2-6x+1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=6，x1x2=1.设直线l的方程为y=-x+b，将直线l和抛物线方程联立得到：x2-（2b+4）x+b2=0，∵l和抛物线相切，∴Δ=（2b+4）2-4b2=0，解得b=-1，直线l的方程为y=-x-1.设点P的坐标为（m，-m-1），PM=（x1-m，y1+m+1），PN=（x2-m，y2+m+1），则PM·PN=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2+（m+1）（y1+y2）+（m+1）2，∵（y1y2）2=16x1x2=16，则y1y2=-4，y12-y22=4（x1-x2），∴y1+y2=4（x1-x2）y1-y2=-4，∴PM·PN=1-6m+m2-4-4（m+1）+（m+1）2=2[（m-2）2-7]≥-14，当m=2时，点P的坐标为（2，-3）时，PM·PN取得最小值-14，选择B项.

向量在高中数学中占有重要地位.相关情境既可以围绕向量知识单独出题，也可以与其他知识融合起来设问.但是无论何种情境的习题，要求学生解题时具备灵活的思维，提高向量几何运算、坐标运算的应用意识.同时，做好向量在解题中的应用总结，不断的积累相关的应用经验与技巧，提高应用水平.

参考文献：

[1]王慕华.高中数学解题中向量法的应用研究[J].数理化解题研究，2021（16）：22-23.

[2]王春萍.高中数学平面向量解题技巧[J].中学数学，2021（05）：45-46.

[3]周振欢.向量在高中数学解题中的运用探究[J].中学生数理化（自主招生），2020（06）：17.

[4]姚洪兵.高中数学解题中平面向量方法运用探究[J].名师在线，2020（11）：9-10.

[5]徐波.探讨向量法在高中数学解题中的应用[J].试题与研究，2020（06）：24.

[責任编辑：李 璟]