【摘 要】 教、学、测中，习题选择做到“准”“精”“简”，才能有效达成巩固“四基”、提升“四能”、查缺补漏、发展素养的解题目的.“准”即试题应正确，知识及能力考查目标明确，能切中学生认知方面的薄弱点;“精”即习题应与核心概念与性质相关，能反映数学基本思想方法，不纠缠于枝节末梢;言简意赅，流畅、易懂、具有启发性谓之“简”.

关键词：精选习题;解题目的

使学生进一步理解和掌握数学基础知识，培养和发展学生的基本技能和思维能力，及时发现和弥补教和学中的遗漏和不足，培养学生良好的学习习惯和品质，是解题练习的基本目的.是否所有试题的解答训练及教学都能较好地达成上述目的？章建跃博士曾建言，须建立在“解好题”的基础上.并总结出“好题”应具有以下“品质”：与重要的数学概念和数学性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有自我生长能力等;从培养思维能力的角度，则应有：问题是自然的，对学生的智力有适度的挑战性，题意明确，不纠缠于细枝末节，表述形式简洁、流畅、好懂等[1].这就要求我们在教、学和测试中，习题的遴选应慎之又慎，唯有选出“好题”，才能事半功倍地有效达成解题训练的目的.

我校高三二轮复习近日的模拟测试中，一道试题的学生解答、课堂点评、同事讨论、网络搜索和求助结果，诱发笔者对解题目的达成与“好题”之间关联性的思考.

1 试题及参考答案呈现

（2019 珠海二模）若函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）.

A. （-∞，e）B. [0，e]C. （-∞，-2）D. （0，2]

命题者提供的参考答案过程如下：

解 f′（x）=ex（x-2）-kx2+2kx=（x-2）（ex-kx），若函数f（x）只有一个极值点，则f′（x）=0只有一个实数解.所以ex-kx≥0，即ex≥kx，令u（x）=ex、h（x）=kx，同一坐标系中分别作出它们的图象，如图1所示，当两函数图象相切时k=e，此时k的值最大.注意到，k<0时，不成立，故k的取值范围是[0，e]，选B.

作业帮、小猿搜题、数学群组求助以及网页搜索到的本题解答方法也基本如上述过程.

从试题和参考答案，我们尝试对命题者的初衷及考查目的作如下分析.极值点概念、导数的几何意义、极值点求解、零点存在性定理，是试题考查的基本概念及原理;信息提取和转化、逻辑推理、导数求解、函数图象切线的求解、函数零点（方程根）的判断、利用导数求解函数极值点等，是试题求解所需程序性技能;上述知识和技能中所蕴含的转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论是试题考查的基本数学思想.

更为重要的是，在知识考查、技能训练、思想升华的过程中，通过上述试题的解答训练使学生逐步学会“更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考[2]”，努力提升学生思维的整体性与灵活性、自觉性与创造性.

2 學生应试时的解法与命题人初衷契合度分析

此题测试后，学生得分率并不低，选择题无法获知学生的思维过程和解决方法，通过和部分学生交流后，发现他们的解法如下：

解 注意到，四个选项中，e是特殊值.令k=e，则f（x）=ex（x-3）-13ex3+ex2，所以f′（x）=（x-2）（ex-ex）.如图1所示，注意到ex-ex≥0，故x∈（-∞，2）时，f′（x）≤0;x∈（2，+∞）时，f′（x）>0.所以当k=e时，函数f（x）只有一个极小值点2，即k=e符合条件，四个选项中只有B中含有e，所以选B.

结合选择题的特点，在四个选择支中确定一个特殊值，代入已知函数，检验是否符合题设条件，避开含参数函数性质的讨论.作为一种特殊技巧，应试过程中合理应用，能够快速、正确解答本题，获得分数，此法无可厚非.

学生解法能否达到命题者的对学生考查和训练的目的？在解题过程中，零点存在性定理、导函数的零点与原函数极值之间的本质联系、分类讨论、转化与化归等数学思想并未涉及.试题没有达到对重要概念、原理的本质及其蕴含思维方法的有效考查和训练.

3 对试题及参考答案的质疑

疑点1 转化的等价性

①函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一个极值点与f′（x）=（x-2）（ex-kx）只有一个零点等价吗？

② 函数f（x）只有一个极值点，一定是2吗？

③ f′（x）=（x-2）（ex-kx）只有一个零点与ex-kx≥0是否等价？

④ 两函数图象相切时，k=e，f′（x）=（x-2）（ex-kx）有两个零点，函数f（x）为什么只有一个极值点？答案没有解释.（学生的求解从几何直观角度回答了这个问题）

疑点2 [0，e]之外的值

① 当k<0时为什么不符合条件？显然吗？此时函数f（x）有极值点吗？有几个？

② 当k>e时，比如，k=e22时，f′（x）=（x-2）ex-e22x，2也是方程ex-e22x=0的根.函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2此时只有一个极值点吗？如果只有一个极值点，还是2吗？疑点3 几何直观与演绎推理

赋予抽象的数学问题以几何直观，获得数学结论，提供解题思路，是数学问题解决的基本思维方法.但是，用几何直观代替严密的演绎推理行得通吗？4 对试题正确性的推敲

函数f（x）是定义域上的可导函数，所以“函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一个极值点”等价于“f′（x）=（x-2）（ex-kx）存在唯一异号零点.”（即零点两侧f′（x）符号相反）设函数h（x）=ex-kx，作如下讨论.

（1）h（x）=ex-kx无零点

若h（x）无零点，则有h（x）>0或h（x）<0恒成立.注意到h（0）=1>0，所以h（x）<0恒成立不可能.对于h（x）>0恒成立，可按以下方法求k的取值范围.方法1 分类讨论、参变分离

当x>0时，ex-kx>0转化为k

当x=0时，k∈R，均有ex-kx>0恒成立;

当x<0时，ex-kx>0转化为k>exx.注意到此时exx<0，所以k≥0.

综上所述，当k∈[0，e）时，不等式ex-kx>0恒成立.方法2 参变混合、分类讨论

h（x）>0恒成立，等价于h（x）min>0，h′（x）=ex-k.

当k<0时，h′（x）>0，即h（x）为增函数，且x→-∞时，h（x）→-∞，h（x）不存在最小值，所以k<0时不符合条件;

当k=0时，h（x）=ex>0恒成立，符合条件;

当k>0时，h′（x）=ex-k存在唯一零点lnk，x∈（-∞，lnk）时，h′（x）<0，h（x）为减函数，x∈（lnk，+∞）时，h′（x）>0，h（x）为增函数，所以h（x）min=h（lnk）=k-klnk，h（x）min>0，得k

综上，k∈[0，e）时，不等式ex-kx>0恒成立.

（2）h（x）=ex-kx有零点图2

若h（x）=ex-kx存在零点，即k∈（-∞，0）∪[e，+∞）.

情形1 若k<0时，h′（x）>0，h（x）=ex-kx单调递增.h（0）=1>0，且x→-∞时，h（x）→-∞，所以h（x）存在唯一负零点x0.f′（x）的简图如图2.此时函数f（x）有两个极值点，x0是极大值点，2是极小值点.

情形2 当k=e时，h（x）=ex-ex，h′（x）=ex-e.所以h（x）在（-∞，1）递减，（1，+∞）递增，即h（x）≥h（1）=0，f′（x）的简图如图3，f′（x）有两个零点，但零点1的两侧，导函数值符号相同，所以其不是极值点，故k=e时，f（x）只有一个极值点.

情形3 当k>e时，h′（x）=ex-k，所以h（x）在（-∞，lnk）递减，在（lnk，+∞）递增，其中lnk>1.

注意到h（lnk）=k（1-lnk）<0，h（0）=1>0，所以h（x）在区间（0，lnk）上存在唯一零点，设为x1.

又h（2lnk）=e2lnk-2klnk=k（k-2lnk）.令φ（x）=x-2lnx（x>e），则φ′（x）=1-2x>0，所以φ（x）在（e，+∞）为增函数，则有φ（x）>φ（e）=e-2>0，故h（2lnk）=k（k-2lnk）>0.所以区间（lnk，2lnk）上，h（x）有唯一零点，设为x2.

综上h（x）存在两个零点x1、x2，满足0

① 若x2=2时，即e2-2k=0，k=e22，f′（x）简图见图4.

此时，f′（x）有两个零点，但x2=2的两侧，f′（x）符号相同，所以其不是f（x）的极值点，函数f（x）只有一个极小值点x1.

② 若x2≠2时，即k∈e，e22∪e22，+∞，h（x）有两个零点.当k∈e，e22时，有x2<2，见图5，此时f（x）有两个极小值点，分别是x1、2，一个极大值点为x2;当k∈e22，+∞时，有x2>2，见图6，此时f（x）有两个极小值点，分别是x1、x2，一个极大值点为2.

综上，若f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一个极值点，k∈[0，e]∪e22，四个选项均不符合条件.所以，本题是一道错误的考题.

5 准选、精考、简述

试题考查的基本原理有两个.一是对可导函数而言，其导函数的异号零点是原函数的极值点，左正右负为极大值点，左负右正为极小值点.二是函数零点存在性定理，该定理只能判断函数零点的存在性，结合函数单调性可对函数零点个数作严密的讨论.函数零点问题与方程根问题等价，除了存在性定理外，也可从两相关函数图象交点的视角认识，获得结论，提供解题思路，但无法替代存在性定理与单调性结合的严密推理过程.函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2极值点个数即f′（x）=（x-2）（ex-kx）异号零点的个数，2显然是一个零点，问题集中于函数h（x）=ex-kx零点的个数和特征的研究上.

在对问题本质准确认识的基础上，遵循“准”选、“精”考、“简”述原则，我们尝试对试题作以下调整.

（1）函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2极值点的个数可能为（）.

A. 0个B. 1个 C. 2个 D. 3个

注评 考查极值点的概念、函数零点概念、函数极值点与导函数零点的关系.结合选择支的特征，借助ex与kx图象关系，能直观地判断极值点的个数，避开了复杂的讨论和运算等枝节，集中考查极值点的概念，特别是可导函数极值点与导函数零點之间的关系.

（2）若函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）.

A. （0，e） B. [0，e]C. （0，e）∪e22 D. [0，e]∪e22

注评 对知识、技能、思想考查目的和原题一致，基于试题正确性作上述调整.但对学生求解方法的期望，并非命题者提供参考答案那样.保留原试题设置形式，是期望学生能结合选择支特征，对k=e和k=e22两个特殊值验证的基础之上，选出正确答案.这种设置对学生的能力要求较题⑴而言要高，仅由几何直观无法解决问题，需作必要的逻辑推理才能判断.

（3）已知函数f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2，f′（x）表示函数f（x）的导数.

① 若函数y=f′（x）有两个零点，求k的取值范围;

② 讨论函数f（x）极值点的个数.

注评 函数f（x）极值点情况的综合讨论，对核心概念及其蕴含技能、思想要求更高.以具体问题载体，考查学生转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想.以解答题形式呈现，能够展现学生问题求解的思维过程，准确观察学生是否会用数学眼光观察、会用数学的思维思考、会用数学的语言表述具体问题[3].

按所考查的知识量从少到多、联系性从單线到交叉;程序性技能要求从低级到高级;贯穿着对蕴含在知识中的思维方法、学科一般观念、数学思想的考查和训练，旨在超越具体的数学问题，发展学生思维的灵活性、自觉性、联系性、严密性、整体性.

6 结语

“讲了n遍，考试还是错”的现象司空见惯，导致这种现象的因素主要有：教师对习题和学生理解不到位，导致命题、选题、讲题不准，习题没有围绕核心概念及其蕴含的技能和思想展开，没有真正抓住学生的问题所在，或者习题本身就是错的;由此连带的问题则是不“精”，让学生在知识外围反复训练，耗费学生大量的时间和精力，却达不到对知识的真正理解、对思维的有效训练、对能力切实提升的目的;所谓不“简”，就是在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化.

命题、选题、讲题是教师日常教学工作的重要组成部分.在习题的命制、改编、选择和教学过程中，达成掌握“四基”、发展“四能”、查缺补漏、培养学生良好的学习习惯、提升思维品质的解题目的，遵循“准”、“精”、“简”的原则是有效之举.

参考文献

[1] 章建跃.让学生解好题[J].中小学数学（高中版），2012（12）：封底.

[2] 郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019，28（05）：2432.

[3] 史宁中，林玉慈等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017，37（04）：814.

作者简介 祝峰（1974—），男，安徽濉溪人，中学高级教师，研究方向：高中数学课堂教学.