广州市第九十七中学510260徐进勇

【摘 要】好的数学应用素材能体现历史、情境、人文、思想与现实，能有效提高学生数学抽象、逻辑推理、数学建模素养.教学实践中总结应用素材开发的多条路径，以求创设良好的数学应用素材，实现抽象数学与生动现实间的沟通，突破数学因高度抽象概括产生的理解障碍，为改善数学的教与学提供极大可能.

【关键词】 应用素材;路径;案例

中国数学经典《九章算术》汇集了246个数学问题及其解法，问题解决过程带动数学知识的学习与理解;《数术九章》作者秦九韶，主张“数术之传，以实为本”，就是在强调数学的应用.1993年4月北京师范大学召开“在中学数学教学中贯彻应用性原则的研讨会”，严士键、张奠宙两位教授率先提出要在高考试题中增加数学应用内容.2003年，《普通高中数学课程标准（实验）》将“发展学生的数学应用意识”作为课程的十大理念之一.2018年《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下称为《新课标》）提出教育要“立德树人”，并把数学建模作为数学学科六大核心素养之一，将数学建模活动与数学探究活动作为课程内容的四条主线之一.教育部考试中心命题专家总结说：“新的高考数学试题注重考查数学应用素养，试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用.”

数学应用包括两个方面：一是在数学内部的应用，即运用已有的数学知识和思想方法解决新的数学问题，这类问题多归结为“数学结构的逻辑化”;二是在数学外部的应用，即运用数学理论解决有关实际问题，可分为把含有实际背景和非数学学科背景的问题变成数学问题即建立数学模型，这类问题可归结为“现实问题数学化”;另一方面是怎样把数学理论广泛地应用于各种具体情境，这类问题可归结为“数学理论应用化”.分类如下：

数学应用内部应用：数学结构逻辑化外部应用现实问题数学化数学理论应用化

数学应用的研究包含：激发学生数学应用学习兴趣、提高学习动机;从知识的情境性、逻辑性、文化性、综合性开展数学应用;在课堂教学中渗透数学应用思想，开展数学建模教学;增加数学课外实践活动，进行有效的知识应用拓展等，这其中体现历史、情境、人文、思想、现实.数学应用素材的开发就是创设具有上述特征的教学材料，为教学服务.教学中，学习他人经验的同时，自己也创设了很多有意义的应用素材，总结了素材开发的8条路径，实现了抽象的数学与生动的现实间的沟通，突破数学因高度抽象概括产生的“难以意会、无法言传”的障碍，为改善数学的教与学提供极大可能.

1 创设逻辑建构素材

数学内容结构严谨、逻辑缜密，数学知识的发展相互联系，前后一致.教师备课的主要任务是要站在系统的高度为学生构建前后一致、逻辑连贯的思维链，并提供恰当材料，引领学生经历感知、抽象、概括它们的共同本质属性的过程.

案例 在学习“零指数幂、负指数幂”时，学生已有知识：an表示n个a相乘的积，am÷an=am-n（a≠0，m，n∈Z*，m>n）.之所以规定m>n，是因为0个a相乘、-1個a相乘是没有意义的.随着数集学习范围的扩大，如何突破认识负指数幂含义这道“坎”呢？

首先确定当m≤n时，am÷an是有意义的，如23÷23=1，23÷24=12.那么它又为何可以写成20和2-1呢？20和2-1又有何含义呢？

为此，石志群老师创设素材：有1个细胞分裂1次变成2个，分裂2次变为22个，分裂3次变为23个，分裂4次变为24个，…….当这个细胞没有分裂（即分裂次数为0）时，细胞个数是多少？

生：20=1.

师：可见，20还是有道理的！于是我们可以规定a0=1，从而同底数幂的除法运算法则在m=n时就可以成立了.

追问：请学生在数轴上依次标出20，21，22，23，24，…所表示的点，并研究这些点有何关系？

生：它们与原点的距离分别是1，2，4，8，16，…，后一段距离是前一段距离的2倍.

师：反向观之，有何发现？（如图1）

生：指数每减少1，幂所对应的点为原点与前一个点的中点.

师：按这个趋势，因为20=1，如果2-1有意义的话，那么它所对应的点应该在哪里？对应的实数是哪个？

生：2-1=12.

师：你能理解2-2=？ 2-n=？

通过构建这样的素材，在学生已有知识“正整数指数幂”的基础上，抓住对于2n当指数增加1时（正向变化），幂变为原来的2倍，并借以数轴直观，提出逆向思考与观察：指数减少1时（负向变化），幂所对应的点与前一个点有何联系，从而产生新结果，实现认识上质的飞跃，拓展了乘方运算的意义.正如石志群老师所说：数学的“规定”不是那么随意的，它需要有数学赋于的权利，也要有现实的合理性，还要符合数学内部的和谐一致[1].

事实上，教材内容的编排是很重视知识的逻辑结构的.如选修23回归分析的基本思想是在明确了如何研究线性回归的基础上，将非线性回归方程问题通过换元转化为线性回归方程，形成“作散点图→选模→换元确定线性方程→得到曲线回归方程→利用回归方程进行预报”的回归分析思路.独立性检验的基本思想是类比反证法原理：将“在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立.”类比为“在一个已知假设下，如果推出一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.”揭示了确定性关系与相关关系的联系与区别，打通知识间的联系.这些教学内容的安排顺水推舟，也顺理成章，突出了知识间的内部联系与结构打通，为我们的教学提供研究“套路”的示范.

2 创设数形结合素材

数学是研究数量关系和空间形式的科学，“数”让“形”更精确，“形”让“数”更直观，二者“比翼双飞”，共同促进数学发展.

直观想象素养就是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.

案例 在学习数列一章中，常会遇到12+22+32+…+n2=？教材只是给出公式，并没有推导与证明，在学生已有的知识基础上，如何推导这个公式呢？

创设素材 高斯根据“三角形数”（如图2）解决了1+2+3+…+n=n（n+1）2，你知道他是怎么

计算的吗？同样，毕达哥拉斯从“正方形数”中也得到了一个结论（如图3），你能写出这个结论吗？

学生可以写出结论：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

师：如果我们把三角形数中的点扩大到一个小圆圈，再在每个小圆圈按规律填上数字：第1行填1，第2行都填2，…，第n行都填n（如图4（a）），这个三角形所有小圆圈的数字和怎样表示？

生：1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

师：将这个三角形按顺时针方向旋转120°，得到第二个三角形（如图4（b））;再将这第二个三角形按顺时针方向旋转120°，得到第三个三角形（如图4（c）），将这三个三角形对应位置的小圆圈里的数相加，得到第四个三角形（如图4（d）），则第四个三角形中所有数字之和是多少呢？

生：算出第4个三角形各小圆圈数字和为（1+2+3+…+n）（2n+1）=12n（n+1）（2n+1），结合上面结论，可得：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）.

素材的创建，使学生正确认识课本“传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在海滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数”的含义，揭示科学家们在研究时，不是简单地数一下就完事，而是把小石子摆成某些形状来研究，这在数学史上称为“数形理论”.材料也是对“数形理论”的创新与拓展，彰显数学文化内涵，拓宽学生视野，培养学生创新精神，饶有兴趣中解决了公式的推导，提高学生的数学直观与数学计算能力.

3 创设情境导引素材

《新课标》强调：“数学核心素养是在学生与情境、问题的有效互动中得到提升的”.如何帮助学生学会“用数学的眼睛看，用数学的思维想，用数学语言说”，离不开数学情境的默化和增润.

案例 在讲两角和差的正切函数公式时，结合广州市学生可以创设如下情境素材.

广州塔身是由两个向上旋转的椭圆形钢外壳变化生成，两个椭圆扭转在腰部收缩变细，俗称“小蛮腰”，是中国第一高电视塔.周日学校数学兴趣小组到户外测量广州塔高度，如图5，他们实地测量在A处到塔尖C处仰角为15°，步行1200米到达B地，又测得塔尖C处仰角为30°，据此，你能测算出电视塔高度吗？

学生独立思考：可先设塔的高度为h，列等式：htan15°-htan30°=1200.如能求出tan15°的值，就能计算出塔的高度了.

教師提出问题：如何求tan15°？

从而引发学生寻求已有知识tan60°，tan45°，tan30°及两角和差的正余弦公式，利用三角函数间结构联系推导出tan（α±β）公式.图6

公式推导后可提供2010年全国高考江苏卷17题作为变式训练：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图6，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值.

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

情境材料引导学生发现问题、提出问题，从知识结构联系中分析问题、解决问题，变式材料提升学生数学应用能力（可用基本不等式或方程根的判别式等）.教学过程通过“情境化”“去情境化”“再情境化”形成了研究一般性概念、公式的基本“套路”.同时也能让学生通过查找有关“小蛮腰”资料感受两个椭圆是如何扭转在腰部收缩变细的，感悟数学应用价值和数学艺术，学会数学欣赏，让学生喜欢数学.理想的数学情境应该包括“境”与“情”两个不可分割的部分，讲究“以境启知，由知怡情”[2].情境素材的创设需要将学生学习的兴趣、情绪、体验、美感等方面摆放在应有位置.

4 创设实验操作素材

数学最大的特点是“抽象”.数学来源于现实世界，现实世界中的数量关系和图形关系通过抽象进入数学内部并通过推理得以发展.

案例 学习“方程的根与函数的零点”时，由于函数的零点定理叙述的是“存在性”问题，较为抽象，高一学生刚接触，理解困难，可安排如下操作：

学生准备一支笔芯和一条细线，放在桌面上，保持笔芯固定不动，并当成x轴，细线当成函数图象，活动细线的两个端点A，B，观察细线与笔芯的交点的个数.并思考以下问题：

问题1 如果A，B在笔芯的两端，则细线与笔芯所在的直线有几个交点？交点会在何处？

待学生独立思考有结论时，提出下面问题：

（1）如图7（a），算不算一种情况？（复习函数概念）;（2）如图7（b），算不算一种情况？

问题2 如果A，B在笔芯的同侧，则细线与笔芯所在的直线有几个交点？

问题3 什么条件下，细线和笔芯所在直线一定有交点？

问题4 如果细线断了，还能保证一定有交点吗？

《易经》中说：“形而上者谓之道，形而下者谓之器.”史宁中教授说：“形是一种抽象的存在.”素材的创设从“器”入手，让学生感悟“形”的存在，进而抽象一般规律.数学实验是学生动手动脑以“做”为支架的数学教与学的活动方式，借助数学实验工具，可以改变学生学习的数学知识形态，改善学生的数学学习方式，促进学生数学核心素养的全面发展.

5 创设技术支持素材

现代技术应用于教学能促使数学知识的发生、发展过程与结果的教育得到更好的结合，使数学兴趣、情感与数学的理性思维教育得到有机的融合.《新课标》要求“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性.”信息技术能发挥人工操作无法达到的效果.

案例 多种版本的教材在圆锥曲线一章中都有让学生折纸的实验来体会抛物线、椭圆、双曲线定义.（1）如图8（a）将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开纸片，就得到一条折痕L（为了看清楚，可把直线L画出来）.这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？为什么？（2）将长方形纸片改为圆形纸片，如图8（b），在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕L，这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？（3）如果在圆外任取一定点F，如图8（c），同样操作观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？

在实际操作中学生很难画出这些折痕，也就无法“勾勒”出三条曲线.但如果我们借助通过几何画板，就很容易得到无数条折痕围成轮廓所形成的图形，而且图形形成过程所保留的痕迹也容易让学生发现等量关系，进而形成对定义的理解（如图9）.

现代信息技术是人类头脑的延伸，除了计算、作图、统计、证明，还可以模拟实验，拓展想象，促进理解.信息技术的运用，无疑增大了课堂的容量，使很多探究性教学成为可能，使学生从静态和动态、局部和整体、图形和数值、具体和抽象、理论和应用的各个侧面去研究和探索数学中的各种问题.充分开发信息技术“抽象问题具体化”“隐性问题显性化”“静态问题动态化”功能，可以让学生真实体验数学的探索过程，真切体验到数变化对形变化的影响以及形变化带来的规律揭示，能较好地培养数学直觉和洞察力，开拓和发展学生的想象力与创造力.6 创设数学文化素材

化学家傅鹰指出：“一门科学的历史是那门科学最宝贵的一部分，因学科学只能给我们知识，而历史却给我们智慧”.在数学课堂教学中，并存着三种思维活动，即数学家的思维活动、教师的思维活动、学生的思维活动.教学中应将三种思维过程尽量开放，使它们水乳交融、相应成辉，形成一个和谐互补的有机整体，从而有效促进学生的思维发展.

案例 高中数学“基本不等式”一节，为引出算术平均数与几何平均数及其关系，在原有的学生认知基础上可以创设如下问题素材：中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股弦方图”（后称赵爽弦图，如图10），用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.

问题1 你了解赵爽对勾股定理的“弦图”证明吗？

问题2 你能从中找出不等关系吗？

问题3 当中间小正方形面积逐渐缩小为零时，说明什么？

以我国科学家的伟大发现与创造性证明为材料创设学习素材，激发了学生很大兴趣，在此基础上引导学生变换视角再发现，完成从等量到不等量及从不等量再到等量的自然转换，体现了等与不等的辩证的统一.素材既能唤起学生原有认知结构中的知识和生活体验，又能自觉发现新问题，建立起新旧知识之间的联系，使新知识学习水到渠成.

胡浩老师在“平面”教学中引用数学家傅里叶对平面定义“平面由经过直线上一点且与直线垂直的所有直线构成.”（教师用几何画板动态展示如图11）成功地利用直线的无限延伸来突破学生对平面無限延展理解上的难点[3]，是一个很好的案例.

融历史于教育，使数学史材料不再是冷冰冰的陈列品，数学历史和教育现实不再是两个彼此隔离的世界，数学史对学生和教师的价值不再是苍白无力.数学史回答了“为何”和“如何”的问题，揭示了数学知识产生的动因，呈现了前人概念理解的困难或概念发展过程中的认识障碍，沟通了不同数学主题之间的联系.数学史本身就是一种课程资源.

7 创设学科融通素材

对新概念获得，一般有概念同化和概念形成两种方法.学生学习新概念时，用定义的方式向学生直接揭示，学生利用认知结构中已有的概念与新概念建立起的联系，从而理解和掌握新概念的本质属性，这种获得新概念的方法称为概念的同化[4].新旧概念的联系可以是数学内部概念的联系，也可以是跨学科概念间的联系.

案例 “充要条件”一节概念较多，逻辑关系容易混淆，我们可以借助物理中的电路图来理解.

请同学们看这两张电路图（如图12）有什么特点？

问题1 如果把“p开关闭合”作为条件，“q灯亮”作为结论，条件p对结论q有何影响？

图12（a），p开关闭合保证了q灯亮，也就是条件p充分保证了结论q成立，称p是q的充分条件;图12（b），要使q灯亮，p开关必须闭合，条件p是保证结论q成立的一个必不可少条件，称p是q的必要条件.

问题2 如图13，A开关闭合是B灯亮的什么条件？试从“充分性”和“必要性”两个方面考虑.

通过学生熟悉的电路图，为学生提供“可视性”情境，以形象直观为手段，强调应用丰富多样的视觉表征手段呈现数学对象的本质属性，为学生从事数学活动、产生数学行为创建易于同化的境脉场域，促进学生对新概念的理解.数学中的向量、数量积概念也可以从物理中的矢量、力的做功同化而来.其他学科的知识、方法和手段可以为数学学习提供资源供给和智力支持，并能丰富和拓展学生的学习资源和认知视野.图13如中学对极限的学习，可以借助我国的诗词加以理解：《庄子》中的一段话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”;数学名家徐利治先生在课堂上讲极限的时候，总要引用李白的《送孟浩然之广陵》诗：故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州.孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流.“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神.在讲函数的性质时，为说明学习函数奇偶性、周期性的意义，我常吟诵战国时期吕不韦《察今》中“有道之士，贵以近知远，以今知古，以益所见，知所不见.故审堂下之阴，而知日月之行、阴阳之变;见瓶水之冰，而知天下之寒、鱼鳖之藏也;尝一脟肉，而知一镬之味、一鼎之调.”

8 创设应用探究素材

《新课标》指出數学建模过程包括：在实际情境中从数学视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式，也是推动数学发展的动力.

案例 等差、等比数列在现实中有着广泛的应用，在学习完数列知识后，我们可以引导学生作研究性学习：贷款问题与我们的生活密切相关，贷款有单利和复利之分，还款也有等额本金还款法和等额本息还款法.请同学调查一下银行存款相关信息并搞清楚两种还款法有何区别？具体操作中如何作出选择？并具体解决：现有某人从银行购房贷款100万元，贷款期限10年，两种还款法的利息有何差别？并完成调查评估报告.

开展此次研究性学习，学生可以通过访谈银行工作人员了解存款、贷款、还款相关信息，经历较为完整的数学研究、数学建模活动：调查现实情况，搜集数据信息，提出数学问题，抽象数学理论，探求内在规律，得出数学结论，给出合理解释，完成评估报告，使学生切身感受“做数学”的乐趣.可见，要更好地提高学生的数学建模能力，寻找一个好的数学建模问题是关键.徐青华老师撰文《基于线性回归的行为预测研究》，用线性规划模型分析教学楼学生撤离所需时间，并根据建立的模型选择最佳撤离方案，还引导学生如何书写建模论文[5].生活中处处充满着数据，数学建模正是通过大量数据的汇总处理，把数据转化为模型，并通过严谨的的数学方法定量分析、解决实际问题.数学本质是模式的建构与研究，数学模式包括量化模式与思维模式，量化模式是人类关于客观世界的认识结果，思维模式是人类关于客观世界的认识过程[6].

新课程的实施关注教师和学生的生命体验，呼唤创新研究型素材的启示.好的数学应用素材能启迪思维，形成技能，感受数学思想，体悟理性精神，欣赏数学之美，让学生觉得学数学有意思、有智慧、有价值.让我们一起努力，用智、情、美创建数学应用素材点亮课堂，为学生成长而教！

参考文献

[1] 石志群.合理设计教学过程 发展学生核心素养[J].数学通报，2019，58（01）：1315.

[2] 李三平，郭梦敏.数学情境教学中启“知”策略探讨[J].当代教师教育，2016，9（03）：5659.

[3] 胡浩.“平面”教学设计的理性突围[J].数学通报，2019，58（01）：1618.

[4] 孔企平，张维忠，黄荣金.数学新课程与数学学习[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 徐青华.基于线性回归的行为预测研究[J].中学数学教学参考，2019（12）：3436.

[6] 徐利治，郑毓信. 数学模式论[M] .南宁： 广西教育出版社，1993.

作者简介 徐进勇（1970—），男，江苏连云港人，正高级教师，高中数学特级教师;主要研究方向：课堂教学研究.