【摘 要】 2015年北京大学自主招生数学试题第8题，是由多项式绝对值不等式恒成立求参数取值范围的问题.这类问题的解法是赋值法，但如何赋值？有何玄机？文章阐释了其来龙去脉，并给出了其一般情形的结论及更一般情形的猜想.

【关键词】 多项式;绝对值不等式;恒成立;求参数取值范围;赋值法;来龙去脉

1 题1的解法有何玄机？

题1 （2015年北京大学自主招生数学试题第8题）若x∈[1，5]，x2+px+q≤2（p，q是常数），则不超过p2+q2的最大整数是.

解 分别令x=1，3，5，可得-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐标系pOq中作出以上不等式组表示的区域后，可得p=-6，q=7.

又因为当p=-6，q=7时，x∈[1，5]，x2-6x+7=（x-3）2-2≤2，所以

[KF（]p2+q2[KF）]的最大值是85，再得所求答案是9.

注 該解答的关键是求出“p=-6，q=7”，解决这一关键的核心步骤又是“分别令x=1，5，3，……”.读者自然会问：为什么要令x=1，5，3这三个值呢？令其他值也能求出答案吗？

令区间[1，5]的两个端点值1与5这是自然的，令x=3又有何玄机？容易看出3是两个端点值1与5的平均数，这是一般规律吗？

2 题1的另解——破解玄机

题1的另解 可得题设即x∈[1，5]，-x2-2≤px+q≤-x2+2.如图1所示，可得线段y=px+q（1≤x≤5）夹在两条曲线段y=-x2-2（1≤x≤5），y=-x2+2（1≤x≤5）之间.

可得曲线段y=-x2+2（1≤x≤5）的两个端点分别为A（1，1），B（5，-23），还可证得线段AB：y=-6x+7（1≤x≤5）与曲线段y=-x2-2（1≤x≤5）切于点C（3，-11），再由数形结合思想可得p，q的值分别是-6，7.

图1

但还需要作严格证明：分别令x=1，3，5，可得

-2≤1+p+q≤2，-2≤9+3p+q≤2，-2≤25+5p+q≤2.

在平面直角坐标系pOq中作出以上不等式组表示的区域后，可得p=-6，q=7.

也可这样证明：分别令x=1，5，3，可得p+q≤1，5p+q≤-23，6p+2q≥-22，所以-22≤6p+2q=（p+q）+（5p+q）≤1-23=-22.

因而p+q=1，5p+q=-23，6p+2q=-22，即p=-6，q=7.

同原解法，还可验证p=-6，q=7满足题设，所以满足题设的p，q的值分别是-6，7.

因而[KF（]p2+q2[KF）]=[KF（]85[KF）]，进而可得所求答案是9.

3 题1的一般情形

定理1 若α，β（α<β）是已知数，则x∈[α，β]，x2+ax+b≤（α-β）28（a，b是常数）的充要条件是a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

证明 可得题设即x∈[α，β]，-x2-（α-β）28≤ax+b≤-x2+（α-β）28.

（请读者自己画图）可得线段y=ax+b（α≤x≤β）夹在另两条曲线段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β），y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）之间.

可得曲线段y=-x2+（α-β）28（α≤x≤β）的两个端点分别为Aα，-7α2-2αβ+β28，Bα，α2-2αβ-7β28，还可证得线段AB：y=（-α-β）x+α2+6αβ+β28（α≤x≤β）与曲线段y=-x2-（α-β）28（α≤x≤β）切于点Cα+β2，-3α2+2αβ+3β28，再由数形结合思想可得欲证结论成立.

但还需要作严格证明：

分别令x=α，β，α+β2，可得

αa+b≤-7α2-2αβ+β28，βa+b≤α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b≥-3α2+2αβ+3β24.

所以

-3α2+2αβ+3β24≤（α+β）a+2b=（αa+b）+（βa+b）≤-7α2-2αβ+β28+α2-2αβ-7β28=-3α2+2αβ+3β24.

因而αa+b=-7α2-2αβ+β28，βa+b=α2-2αβ-7β28，（α+β）a+2b=-3α2+2αβ+3β24，即a=-α-β，b=α2+6αβ+β28.

又因为当a=-α-β，b=α2+6αβ+β28 时，可得x∈[α，β]，x2+ax+b=x-α+β22-（α-β）28≤（α-β）28，所以欲证结论成立.

推论1 x∈[-1，1]，x2+ax+b≤12（a，b是常数）的充要条件是a=0，b=-12.

证明 在定理1中选α=-1，β=1，可得欲证结论成立.

注 在推论1中设x=tα（α>0），可得结论：t∈[-α，α]，t2+pt+q≤α22（p，q是常数）的充要条件是p=0，q=-α22.

在该结论中设t=x-α′+β′2，α=β′-α′2（α′<β′），可得定理1.所以定理1与推论1是等价的.也可用证明定理1的方法证得推论1.

题2 （2017年清华大学领军计划数学试题第23题，不定项选择题）若对于任意满足|x|≤1的实数x，均有|x2+ax+b|≤12成立，则（）.

A.实数a有唯一取值B.实数a的取值不唯一

C.实数b有唯一取值D.实数b的取值不唯一

解 由推论1可得答案是AC.

题3 已知函数f（x）=x2+bx+c（-1≤x≤1），是否存在实数b，c使得|f（x）|max=12？若存在，求出b，c的值;若不存在，请说明理由.

解 由推论1可得存在实数b，c满足题设，且b=0，c=-12.

题4 若x∈[1，2]，4x2+ax+b≤12（a，b是常数），则b=.

解 可得题设即x∈[1，2]，x2+a4x+b4≤18a4，b4是常数，再由定理1可求得答案9.

4 对题1的再研究

题5 若x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14（a，b，c是常数），则a，b，c的取值范围分别

是.图2

解 可得题设即x∈[-1，1]，-x3-14≤ax2+bx+c≤-x3+14.

如图2所示，可得曲线段y=-x3-14（-1≤x≤1）的左端点是A-1，34，曲线段y=-x3+14（-1≤x≤1）的右端点是B1，-34，线段AB：y=-34x（-1≤x≤1）夹在两条曲线段y=-x3-14（-1≤x≤1），

y=-x3+14（-1≤x≤1）

之间且分别切于点D12，-38，C-12，38.

由图2可知，a=0，b=-34，c=0满足题设.下面由此思路，给出本题的完整解答：

分别令x=-1，1，-12，12，可得

-a+b-c≤-34，①a+b+c≤-34， ②a-2b+4c≤32，③-a-2b-4c≤32，④

①+②，可得b≤-34;③+④，可得b≥-34.所以b=-34.

再把b=-34代入①②，可得a+c=0;又把b=-34代入③④，可得a+4c=0.所以a=c=0.

当a=0，b=-34，c=0时，可得x3+ax2+bx+c=x3-34x.用导数可求得函数f（x）=x3-34x（0≤x≤1）的值域是-14，14，所以奇函数y=x3-34x（-1≤x≤1）即y=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1）的值域也是-14，14，因而x∈[-1，1]，x3+ax2+bx+c≤14.

综上所述，可得所求a，b，c的取值范围分别是{0}，-34，{0}.

定理2 若ε，α（α>0）是已知数，则x∈[ε-α，ε+α]，x3+ax2+bx+c≤α34（a，b，c是常数）的充要条件是a=-3ε，b=3ε2-34α2，c=34α2ε-ε3.

证明 在题5的结论中设x=tα（α>0），可得结论：t∈[-α，α]，t3+pt2+qt+r≤α34（p，q，r是常数）的充要条件是p=0，q=-34α2，r=0.

在该结论中设t=x-ε，可得t3+pt2+qt+r=（x-ε）3+p（x-ε）2+q（x-ε）+r=x3+（p-3ε）x2+（3ε2-2pε+q）x+（r-qε+pε2-ε3）.

进而可得欲证结论成立.

注 在定理2中选ε=0，α=1，可得题4的结论.所以题4的结论与定理2是等价的，也可用证明题4的结论的方法证得定理2.题6 已知x∈[1，5]，|x3+px2+qx+r|≤2，求实数p，q，r的取值范围.

解 在定理2中令ε=3，α=2，可得所求实数p，q，r的取值范围分别是{-9}，{24}，{-18}.

题7 若x∈[-1，1]，|x4+ax3+bx2+cx+d|≤18（a，b，c，d是常数），则a，b，c，d的取值范围分别是.

解 分别令x=-1，1，-22，22，0，可得

-a+b-c+d≤-78，a+b+c+d≤-78，a-2b+2c-22d≤322，-a-2b-2c-22d≤322，d≤18.

所以18≥d=-12（-a+b-c+d）-12（a+b+c+d）-122（a-2b+2c-22d）-122（-a-2b-2c-22d）≥-12·-78-12·-78-122·322-122·322=18.

因而以上不等式組中的“≥”全取等号，进而可求得a=0，b=-1，c=0，d=18.

当a=0，b=-1，c=0，d=18时，可证得x∈[-1，1]，x4+ax3+bx2+cx+d≤18，即证x∈[-1，1]，x4-x2+18≤18.设x2=t，即证t∈[0，1]，t2-t+18≤18，而这容易获证.

综上所述，可得所求答案是{0}，{-1}，{0}，18.

猜想 若恒等式cosnθ=ancosnθ+an-1cosn-1θ+…a1cosθ+a0（an，an-1，…，a1，a0是与θ无关的常数，由文献[1]的定理可得an-1=an-3=an-5=…=0，

an-2=-n·2n-3，an-4=n（n-3）·2n-6），则x∈[-1，1]，|xn+pn-1xn-1+…+p1x+p0|≤12n-1（pn-1，…，p1，p0是常数）的充要条件是pn-1=an-12n-1，…，p1=a12n-1，p0=a02n-1.

注 易知当n=1时猜想成立，由推论1、题5、题7的结论可知当n=2，3，4时猜想均成立（证明时所赋的值是区间端点值及所得多项式的极值点）;同定理2的证明还可把猜想的结论予以推广;由本文的结论还可编拟出一些难度较大的题目.

参考文献

[1] 甘志国.谈谈这道“合情推理”高考题[J].中学数学（高中），2011（8）：46-48.

作者简介 甘志国（1971—），正高级教师、特级教师、湖北名师.对高考数学题及重点大学强基计划校考（数学）两方面研究较多较深：发表了多篇文章，出版了多册著作，针对教师培训作了多场讲座.